Euler’s Introductio, Band I.
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Werden diese Reihen benutzt, um die Sinus und Cosinus von Bögenunterhalb 4- (=30°) zu berechnen, so findet man, da sin 30° = —und somit sin ( 30° + z) = cos ? — sin (30° — ?) nebst cos (30° + z)= cos (30°—?)— sin z, von den Functionen der kleineren Winkelaus mit Leichtigkeit die der grösseren. Die gleiche Substitution
nz = v mit n = i (infmitum , unendlichgross), ? = 4 lässt die für2 cos nz und für 2)/— 1 sin nz gefundenen Formeln in folgendeübergehen: 2 cos v = ^1 + ~~ + (l — -41* -) und 2 Y — 1 sin v
= ^1 + —~ i — ^1 — ~ i . Nun war aber e : — (l + j)*,
mithin ist auch c"^~ 1 = ^1 -(- V JY~ ^ ; e —iV—i = ^1 — und
e *V— i c'F—i
cos V =
e tV-i + e -vy-i
sin v ■
2}/—i
e±* y~i =
cos v
+ sinn|/— 1. Ferner war im natürlichen Logarithmensysteme
log (1 x) = i ((1 -f- x)‘ — l). Ersetzt man 1 x zuerst durchcos? + sin,?, dann durch cos?— ]/— 1 sin? und zieht beide
Ergebnisse von einander ab, so entsteht log (cos?-f-V—lsin?)
log (l
cos ?1
t/ - 1 ■ \ i cos? 4- V — 1 sin? . r, ,
V — 1 sin z) = log - r _ — = i (cos ? +
rns 7 — 1/— 1 sin 7 L
cos ? — y — 1 sin ?
1 sin?)*’]. Wiewohl vorhin die Iler
Y — 1 sin?)*' — (cos? — Y~leitung der Formel 2 ]/— 1 sin nz = (cos ? + Y — 1 sin ?)" —(cos ? — Y — 1 sin?)" die Nothwendigkeit eines positiven ganzzahligenn mit sich führte, welche wir deshalb besonders hervorhoben, nimmt
Euler nicht den geringsten Anstand w = 4- zu setzen, und er ge-
_ y
langt damit zu 2 )/— 1 sin 4 = (cos ? + Y~ 1 sin ?)*' — (cos ?— Y — 1 sin Yy beziehungsweise zu log — sin z = 2 Y — 1 •
-V =1
sin ?
i • sin —%
Wird i = x, so geht i sin -j in i • — = z Uber, und man
cos ? -|- V . s i° z 0( j er e j ne (Gleichung welchey~ 1 sin ? b ’
erhält ? = —_log
2 y — 1 cos ?
den Logarithmen einer imaginären Zahl auf einen Kreisbogen zurück-führt. Der logarithmirte Bruch kann auch durch cos ? gekürzt
werden, worauf ? == —,4 log 1 - 1 tngz entsteht. Im 7. Kapitel
2 y — i b i — y — i tng ? 1
1 1 + X X . X 3 , x b , , , , .
war -- log l = — 4~ -- 4~ -r 4“ '' ‘ gefunden worden. Einsetzung