111. Kapitel.

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1 +V— 1 tng z

von x = ]/— 1 tng z liefert log 1 ~ l ~ - 1 ini< z = Y — 1 (--f " —

r ° 2 6 1 — — l tng Z ' 1

tng z 3 . tng z b . \ , , tng z tng z 8 . tng z 6 .

3 + -5 + ■■■), als0 auct * = i —'s + 5- + • ' ■

beziehungsweise mittels tng z — t, z — arctg t auch aretg t =t t 3 t**

Y — y + 5 - — ' ' '• Eiese zahlreichen Ergebnisse des 8. Kapitels

sind, wie kaum hervorgehoben zu werden braucht, weder in einwand-freier Weise erworben, noch einzeln genommen neu. JohannBernoulli hatte 1702 den Zusammenhang zwischen einem Arcus-tangens und dem Logarithmen einer imaginären Zahl erkannt(S. 348j, James Gregory besass 1671 die Reihe für arctg t (S. 72),

Leibniz hat deren besonderen Fall j = 1 — + 7 ," — T " S e "

fanden ('S. 75). Machin hat 1706 eine zur praktischen Anwendungvortheilhaftere Reihe für — veröffentlicht (S. 350j. Euler selbst hat

1737 eine Anzahl von Reihen zur Berechnung von % in den Druckgegeben (S. 046). Jetzt kam er in der Introductio auf die Um-formung der Arcustangensreihe zurück. Ausgehend von tng (a -f- b)

— U nd von tng * = \ findet er, dass, wenn a 4- b

1 — tng a • tng b 0 4 ’ ’ '

„ tng a 4- tng b1 = - \ t sein

1 — tng a ■ tng b

= 7 ist >

Mithin ergiebt sich aus tng «

muss und tng b — \ .

6 1 -f- tng n

* ein tng b =-und

i+T

71

1

arctg v + arctg {

worauf zweimalige Anwendung der Arcus-

tangensreihe eintritt.

Das 9. Kapitel, Untersuchung der trinomischen Factoren,kehrt zu dem Gegenstände des 2. Kapitels zurück. Dort war vonden reellen einfachen Factoren und von den paarweise auftretendenimaginären Factoren einer ganzen reellen algebraischen Function dieRede, welche letztere einander zu einem reellen trinomischen Factorvervielfachen, und auf sie wendet Euler nunmehr sein Augenmerk. DasTrinom p — qz -(- rz~ besteht aus zwei imaginären einfachen Factoren,

wenn 4 nr > q* oder —^<1 ist. Jede Zahl, welche kleiner als 1‘iyV

ist, kann als ein Cosinus gedacht werden, z. B. - q — = cos <jp als

’ 2 yp r

Merkmal, dass p — qz + rz 2 aus imaginären einfachen Factoren ent-stand. Das Trinom heisst alsdann p —2cos <p Ypr z + rz 2 oderwenn p durch p- und r durch q 2 ersetzt wird, p- — 2pqz cos (p