111. Kapitel.

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-(- Rz 3 gesetzt, so ist P = x° -|- x? -(- x Y . Die nach

folgenden Coefficienten sind: Q die Summe derjenigen Potenzen von x,deren Exponenten die Summen je zweier verschiedener Zahlen aus derReihe a, ß, y ••• sind, R die Summe derjenigen Potenzen von x, derenExponenten die Summe je dreier verschiedener unter den genanntenZahlen sind u. s. w. Kann ein Exponent auf mehrere verschiedene Artendurch Addition hervorgebracht werden, so erhält das betreffende Gliedeinen Zahlencoefficienten. Das Auftreten von Nx n z m in dem gebil-deten Producte bedeutet also, dass n in N verschiedenen Arten aus munter einander verschiedenen Zahlen der Reihe a, ß, y ■ ■ ■ additiv her-gestellt wurde, oder N ist die Zerlegungszahl von n in m verschiedeneTheile. Die Bedingung der Verschiedenheit der Theile fällt weg, so

bald der Quotient

(l — X a z) (l — X^ z)(l —X V z) ■■■

in die Reihe 1 + Pz

-j- _|_ Jl z 3 _j_ . . . verwandelt wird. Die Aufgabe der Zahlen

zerleo'uno' ist damit auf eine andere Aufgabe zurückgeführt. Zu ihrerLösung genügt die Möglichkeit, in den beiden vorerwähnten Haupt-fällen die Coefficienten J\ Q, R leicht ermitteln zu können. Ist

Z—{\ -\-xz) (1 -\-x 2 z){\-\-x 3 z)---, so ist = 0 +x 2 z)(l-{-x 3 z)---.

Das ist aber das gleiche Product, welches entsteht, wenn in(1 -f - xz){\ -f- xrz) ■ ■ ■ der Buchstabe z durch xz ersetzt wird. Das

Z genannte Product heisst als Reihe 1 -f- Pz -f- Qz 2 + • • •. Ersetzt

inan in ihr z durch xz , so entsteht 1 -f- Pxz -j- Qx 2 z 2 -(- ■ • • und

man erhält die Gleichung = 1 + P xz -)- Qx 2 z 2 -\- woraus

Z = (1 + xz) (1 + Pxz + Qx 2 z 2 + •••) = 1 + (1 + P)xz +

(P-(- Q)X 2 z 2 -f- • ■ • folgt. Durch Gleichsetzung der gleiche Potenzenvon z in sich schliessenden Glieder der beiden Reihenformen für Zentsteht P = (1 + P)x, Q = (P + Q)x 2 , R = (Q + R) x 3 ■ ■ • und

T> x Px 3 _ X 3 Q x 3 = _ X•* _

* l-^x’ * 1— x 3 (1 — ac) (1 — £C 2 )’ 1 — (1— a:)(l — a:*)(l—- x 3 )

u. s. w. Der allgemeine Ausdruck für den >« ten Coefficienten heisst

m (m+1)

(1— x){l—x 3 ) ...(1— x m )in eine Reihe entwickelt

Da nun der Bruch

1

(!—*)(! — x 3 ) ■ •• (l -- P")

senau dieselben Reihenglieder liefert wie

O °

m(m+ l)

derjenige, welcher x 2 im Zähler besitzt, wenn man auf die Coefti-cienten allein achtet, während freilich der Unterschied der Exponentenvon x in einander der Rangordnung und den Coefficienten nach ent-sprechenden Gliedern stets —- ist, da ferner die Coefficienten

die Zerlegungszahlen sind, so folgt der Satz:

Die Zahl n

+

VI (VI -f-1)

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