Euler’s Introductio, Bund I.
697
lässt sich auf ebensoviele Arten in m ungleiche Theile zerlegen, alsdie Zahl n aus den Zahlen 1, 2, • - • m durch Addition zusammen-gesetzt werden kann. Wird das dem Sinne nach gleiche Verfahren
auf den anderen Fall angewandt, wo Z — -- : ----
6 ’ ( l—xz){l—x t z)(\—x 3 z )•••
= 1 + Ps -j- Qz 2 -f- Rz s -(-■■• war, so findet sich als allgemeiner
Ausdruck für P Q J{ ■ ■ ■ der Bruch -—-und
(l— *)(l— **)..• (1— x m )
daraus der Satz: Die Zahl n -)- m lässt sich auf ebensoviele Arten inm gleiche oder ungleiche Theile zerlegen, als die Zahl n aus denZahlen 1, 2, • • • m durch Addition zusammengesetzt werden kann.
Das 17. Kapitel, Von dem Gebrauch der recurrenten Reihenbei der Berechnung der Wurzeln der Gleichungen, hat unsschon ( S. 621 1 den Anlass zu einer Verweisung gegeben. Euler ver-spricht nämlich in den Einleitungsworten des Kapitels eine sorgfäl-tigere Auseinandersetzung der von Daniel Bernoulli im IV. Bandeder Petersburger Commentarien über denselben Gegenstand enthal-tenen Untersuchungen. Unser Bericht wird sich auf die ersten Para-graphe des Kapitels beschränken dürfen, welche den grundlegenden
Gedanken erörtern. Sei in dem Bruche “_ j ~ 1>Z + cz + ^ H der
1 — uz — ßz 3 — yz 3 —
Nenner das Product lauter von einander verschiedener reeller ein-facher Factoren (1 — pz) (1 — qz) (1 — rz) • ■ •, und sei der Bruchebensowohl in Gestalt einer recurrenten Reihe A + Bz -f- Cz' 2 + • • •+ Pz n + Qz n+l -f- • • •, als in seiner Zerlegung in Partialbrüche9( 33 C
j _- pz J r YZTqz + j _ — + ’ bekannt. Jeder Partialbruch giebt
selbst wieder eine recurrente Reihe wie - = 5t -f- %pz -(- 5(p 2 ,? 2 -|-
-f- z n -(- • • ■, und setzt mau die Summe dieser partiellen recur-renten Reihen gliedweise gleich der aus dem ursprünglichen Bruchehervorgegangenen Reihe, so zeigt sich P= 5t p n -(- 53 q ‘ -f- t£r" -j- •und Q = 5t2> n + 1 + 53#" +1 + Sr n + 1 -f- •••. Ist nun p am grössten,
oder y die kleinste Wurzeider Gleichung 1 —uz — ßz 2 — yz :i -= 0
und n eine grosse Zahl, so dass p n über q n , »■'•••• und p n + 1 überq n 1 i, r' 1 + 1 weit überwiegt, so ist annähernd P=%p’ 1 , Q = 5(p"~+ 1
und demzufolge p — j, ein Werth, der um so richtiger ist, je grösser
n gewählt wurde. Zugleich ist aber p die grösste Wurzel derjenigenGleichung, welche aus 1 — uz — ßz 2 — yz 3 — .•■ = <) mittels der
Substitution z = ^ entsteht. Die Zählercoefficienten «, b } c, <1 ■ ■ ■sind dabei vollkommen willkürlich, können somit so gewählt werden,dass die Rechnung so wenig Mühe als möglich macht.
Caktor, Geschichte der Mathematik. III, 3.
15