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112. Kapitel.

Das 18. Kapitel, Von den Kettenbrüchen, endlich beruht aufden beiden Abhandlungen im IX. und XI. Bande der PetersburgerCommentarien (S. 670—676). Neues ist so gut wie nicht hinzu-getreten, vielmehr ist nur der Inhalt jener Abhandlungen, soweit erelementarer Natur ist, klar und einfach dargestellt.

112. Kapitel.

Reihe» 1749—1754. Die Grundlagen der Differentialrechnung.

In der Introductio war der umfassendste Gebrauch von Exponen-tialgrössen mit complexen Exponenten gemacht. De Moivre (S. 624)hatte 1730 einen für jene Grössen grundlegenden Satz ausgesprochen.D’Alembert (S. 566) hatte 1746 erörtert, dass jede Function einerimaginären Zahl sich auf die Form A -f- BY— 1 bringen lassenmüsse. Euler fS. 580) bestätigte in dem auf das Erscheinen derIntroductio folgenden Jahre 1749 D’Alembert’s Behauptung. Euler’sBestätigung wurde in den Veröffentlichungen der Berliner Akademiegedruckt nnd in einer anderen Abhandlung ebendesselben Bandeswandte sich Euler einer verwandten Frage zu, die schon lange theilsin dem Drucke übergebenen Abhandlungen von Johann Bernoulli (S. 348) und Leibniz (S. 353) angedeutet, theils in dem BriefwechselBeider erörtert war (S. 357). Dieser Briefwechsel war aber seit 1745in allen Händen, und damit war der Aufmerksamkeit der Zeitgenossenein Gegenstand empfohlen, welchen endgiltig zu erledigen der Augen-blick gekommen war. Der Titel von Euler’s Abhandlung 1 ) lautet:Ueber die Meinungsverschiedenheit von Leibniz und Bernoulli bezüg-lich der Logarithmen negativer und imaginärer Zahlen.

Euler beginnt damit, über Bernoulli’s Meinung, man müsselog (— x) = log x setzen, zu berichten und die von ihrem Urheberangegebenen Gründe zu prüfen. Wenn Johann Bernoulli anführe, dienach x genommenen Differentialquotienten von log (— x) und vonlog x seien einander gleich, oder, was eigentlich dasselbe nur in geo-metrischer Form besage, die Differentialgleichung der Curve ydx — dybleibe unverändert, wenn y durch — y ersetzt werde, und darausfolge, dass jene Curve auch unterhalb der Abscissenaxe einen Astbesitzen müsse (vergl. Fig. 48 auf S. 357), so könne dem entgegengehalten werden, die Gleichheit der Differeutialquotienten bedinge die

') Be la controrerse entre Mrs. Leibniz et Bernoulli sur les Logurithmes<les nombres negntifs et imaginaires par M. Euler in der Histuire de l’Aeudemiede Berlin. Annee 1749. T. V, 139—179.