Reihen 1749 — 1754. Die Grundlagen der Differentialrechnung. (599

Gleichheit ihrer Integrale nur unter Zuziehung einer Constanten.Finde doch auch die Gleichung statt, und doch

sei nicht log nx = log x, sondern log nx = log x + log n, und ähn-licherweise sei log (— x) = log x -f log (— 1). Wenn Bernoullisich für die Zusammensetzung der logarithmischen Curve aus zwei

Aesten weiterhin darauf stütze, die Differentialgleichung dx — ge-höre, so oft n eine ganze ungrade Zahl sei, stets zu einer symmetrischzur Abscissenaxe zweiästig verlaufenden Curve, und n = 1 könnekeinen Ausnahmefall darstellen, so erinnert Euler daran, das seihöchstens wahr, so lange es sich um algebraische Curven handle,nnd auch bei diesen könne das Einsetzen bestimmter Werthe denCharakter der Curve wesentlich ändern. Aus y — Yax + V a ' ( h + x)entstehe z. B. durch Rationalisirung eine Gleichung 8 tcn Grades, inwelcher y nur grade Exponenten besitze, die Curve habe also zweizur Abscissenaxe symmetrische Aeste. Werde der besondere FallI) = 0 ins Auge gefasst, und ratioualisire man y = Ynx j/fCa;,so entstehe — 2axy 3 — 4a 2 xy -f- a 3 x 3 — a 3 x = 0, und das indieser Gleichung vorkommende Glied — 4 arxy beweise, dass voneiner Symmetrie zur Abscissenaxe nicht die Rede sein könne. WennBernoulli endlich sage, wegen (— n) 3 = (-f- a') 3 sei log [(— «)-’]= log[f-f-rt) 2 ] oder 21og( — a) = 2 log (+ a), also log( — a) = log(-fa),so könne man mit genau gleichem Rechte aus (« Y — l) 4 = (-)- a ) 4

und aus ^ 0 a ) = (-(- a) 3 auch folgern log « = log (a Y — l)

= log (- ■ Dass aber log (j/—l) nicht 0 sei, habe

grade Johann Bernoulli einst selbst gelehrt, wo er den Zusammen-hang zwischen den Logarithmen imaginärer Grössen und der Rectifi-cation des Kreises in einer Weise erkannte (S. 348), welche auf dieBehauptung log (Y — l) = jY — 1 hinausläuft.

Auf der anderen Seite führe die Bestreitung der Bernoulli’schenMeinung zu grossen Schwierigkeiten. Ist z. B. log (— a) von log averschieden, also log (— 1) nicht = 0, so sei log (— 1) = oj. Nunist (— 1) • x = • und durch Logarithmirung logx-j- &} = loga: — w,

oder oj = — w, was einen Widerspruch gegen die Behauptung, co seivon 0 verschieden, enthält.

Euler geht sodann zur Prüfung der Leibniz ’schen Meinungvom Imaginärsein von log (— 1) über. Die logarithmische Reihe

log (1 -(- x) = x — x 3 + j x s — ^ x i -f • • • zeige bei x = 0, dass

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