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112. Kapitel.

log 1 =0 sein müsse 1 ). Setze man x = — 2, so komme mau zu

log (— 1) = — 2 — y — *■ — ••• und die Summe dieser divergenten

Reihe könne nicht 0 sein, also sei log (— 1) von Null verschieden.

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Aber warum, wirft Euler sich selbst ein, sollte — 2 — —-—

von 0 verschieden sein müssen? Setze man in j- =1 — x

\ X

-(- x 2 — x 3 + ■ ■ • zuerst x = — 3, dann x=\, so erhalte man_i=l+3 + 0 + 27 + ---, + + und

die Addition beider Entwicklungen führe zu 0 = 2 + 2 + 10 + 2(5 -|- ;

was nicht weniger Schwierigkeit besitze, als die Annahme 0 = — 2

— ~ — Y — •••. Einen anderen Beweis dafür, dass logt—1) nicht= 0 sein könne, erhalte man von der Reihenentwicklung r'J — 14-4-—I y - -(-••• aus, welche immer convergire, eine

wie grosse Zahl man auch für y wähle, so dass die aus derNatur der divergenten Reihen entnommenen Gegengründenicht Platz greifen 2 ). Wenn e y = — 1, y = log — lj sein solle,

liefere diese Reihe — 1 = 1 -f- \ + ' ’ ' un< ^ dieser

Gleichung könne nicht durch ?/ = 0 genügt werden, weil sonst

— 1 = 1 sein müsste. Aber auch hier weiss Euler einen Einwand,der sich dahin ausspricht, dass die Function, welche einer Reihe alsUrsprung diene, Werthe besitzen könne, welche in der Reihe nicht

ihren Ausdruck finden. So sei z. B. (1 — x) 2 == 1 -f- — x -f-

-(- y x 3 -)- ■ • •, und die Reihe gebe einen eindeutigen Werth,

während die Function zweideutig sei und ebensowohl positiv als ne-gativ genommen werden dürfe 3 ).

Nachdem Euler so die unleugbaren Schwierigkeiten hervorgehobenhat, welche sich ergeben, mag man nun für Bernoulli oder für LeibnizPartei ergreifen, fragt er nach dem tieferen Grunde aller dieserSchwierigkeiten und findet ihn in der bis dahin von Niemand bemerkten Unendlich Vieldeutigkeit der Logarithmen. Ist y = logxund x — (1 -f- io) n , wo n unendlich gross, o unendlich klein, so ist

bekannt, dass y = na. Aber aus x = (1 + «) n folgt a — y'x — 1,

■) Histoire <le VAcademie de Berlin. Armee 1749. T. V, 149 schreibt hierinfolge eines offenbaren Druckfehlers die Substitution x — 1 anstatt .r = 0 vor.Auf andere Druckfehler, die nicht gar selten sind, machen wir nicht besondersaufmerksam s ) Ebenda T. V, l. r >0. ®) Ebenda T. V, 152.