Ueilipn 1749—1791. 1 »io <!nin<lla<'i , n der Differentialrechnung.

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)ko — n (}/x — l) oder log:c = » (Yx — l) ( „= x) . Wie eine Quadrat-wurzel 2, eine Kubikwurzel 3 von einander verschiedene Werthe hat,so muss es bei einer « teu Wurzel n dergleichen geben. In dem derAufsuchung von log x zu Grunde liegenden Falle ist n = ~>o, folglich

giebt es hier unendlich viele Y~x und ebensoviele log x. Ist ins-besondere x = 1, so findet sich y = log 1=0 (yT— l) oder(l -}-■—) — 1=0, aus welcher Gleichung die n Werthe von y her-vorgehen, indem mau (l -(- ^-) -— 1 in ti einfache Factoren zerlegt,

deren jeder für sich = 0 zu setzen ist, deren zwei sich aber auch zu einemreellen trinomen Factor vereinigen. Nun weiss man, dass ein reeller

trinomer Factor von p H — q n die Gestalt p 2 — 2pq cos “ -j- <f be-

sitzt, wo l beliebig ganzzahlig ist, und dass p-— 2pqcos ' -j- q~ = 0

zu p = q ^cos 2 ^ 71 + Y — 1 sin führt. In dem besonderen Falle

von 44 = 1 —I— — (/ = 1 wird also 1 -(- — = cos + ]/—1 sin-“-—•

1 1 n ’ 1 1 n n — ’ n

Dabei ist n = ne folglich cos “*’ r = 1, sin = 2 ^ 7r , mithin 1 —

> o n ’ n n ’ n

= 1 + V — 1 • “ und // = + 2 XnY — 1 als unendlichvieldeutiger

Logarithmus von 1, indem l jeden ganzzahligen Werth annehmen kann.Die Annahme X = 0 liefert den einzigen reellen log 1=0. Umlog (— 1) mit seinen unendlichvielen Werthen zu finden, hat man

//= log(—1) = m (Y — 1 — l) zu setzen, beziehungsweise ^1 = — 1,

und der in n Factoren zu zerlegende Ausdruck heisst (l -f- ^-) -)- 1.

Die trinomen Factoren von p n -{- q n sind p- — 2pq cos- -(- q“,

und setzt man diese allgemeine Form des Trinoms = 0, so wirdp = q(cos i2l ~- )7C ±Y— 1 sin ( - 2 * “Jlil). Gegenwärtig ist p = 1 + -|,

q = 1, also 1 y = cos •"*--j- Y — 1 sin -—- =

i + y — i ■ - 2 * w --- uu< ^ y = (— i) = + (ß ^ — i) jt Y — i •

Nun bleiben noch die Logarithmen imaginärer Zahlen zu bestimmen.Jede imaginäre Zahl kann auf die Form ci-j-fr]/— 1 gebracht

werden. Man kann --Y_ = C os m , - ■- = sin w setzen, und

pV + ft* ya’ + fc’ ’

das entsprechende <p trigonometrischen Tabellen entnehmen. Setztman ferner ]/a 2 -f- b- = e, so ist a -(- b ]/— 1 = c (cos <p -)- ]/— 1 sin tp )