Analytische Geometrie bis 1740. Clairaut. Braikenridge. De Gua. 759

Der Band der Veröffentlichungen der Pariser Akademie für dasJahr 1731 enthält zwei Aufsätze Clairaut’s 1 ). Der erste leitet denSchwerpunkt eines ebenen Raumgebildes (sei es einer Fläche odereines Curvenbogens) ab, indem das Raumgebilde um ein Differentialvergrössert, der Schwerpunkt um ein Differential verschoben wirdund alsdann der Satz in Anwendung kommt, dass der Schwerpunktder Vereinigung zweier Gebilde auf der Verbindungsgeraden derSchwerpunkte der einzelnen Gebilde liegt, von jedem derselben im um-gekehrten Verhältnisse des Ge-wichtes des betreffenden Gebil-des entfernt. Der zweite Auf-satz will die Curve kennenlehren, welche auf irgend einerOberfläche durch eine schnei-dende Ebene erzeugt wird.

Clairaut nimmt an (Fig. 117),

A sei Coordinatenanfangspunkt,

A]*, AQ, AU seien die Axender x, der y, der z, BV sei der Durchschnitt der x //-Ebene mitder die gegebene Oberfläche in N schneidenden Ebene, welche alseine neue Coordinatenebene gewählt ist. Der Anfangspunkt der neuenCoordinaten ist in B, und BL = u, LN = s sind die neuenCoordinaten von N, dessen frühere Coordinaten leicht ersichtlichAB = x, BM = y, MN = z waren. Damit die SchnittebeneVLN bekannt sei, muss gegeben sein AB = g, cotg VBT

= yy = cotg NLM = wobei wir den auffälligen von

Clairaut gebrauchten Ausdruck Oeffnung eines Winkels 2 ) für derenCotangente bemerken. Unter Benutzung der g, m, n, p, g gelingt es,x, y, z durch s und u in Verbindung mit jenen fünf Constanten aus-zudrücken. Aus cotg NLM = — folgt . * = q und

° q ° sin NLM q

sin NLM = — = — - -— , also z = —~^=r ■ Aehnlicherweise ists VP+q* Yp* + 2 S

.v

Fig. 117.

LM=- ps --

VP* -b 3*

= J —, BE = _,

u U»i s -f- n*

Ferner cotg VBT =

m u

cos VBT =

LG = ET = BT — BE = y

sowie LE —

mu

V»1* -f- «*

y»i 8 -f- n s

, CM = LT)

ym- -|- n-

Weiter ist

LE +

BA + AB = - -(- g + x . Nun steht LC auf VM und ML

') Histoire de l’Academie des Sciences de Paris. Armee 1731. pag. 159 — 1G2und pag. 483—492. s ) Ebenda pag. 484: l’ouverture de l’angle.