Analytische Geometrie 1748—1756. Cramer.

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in der Ueberschrift des 7. Kapitels genannten Gegenstände angelangt,bei der Methode der Reiben, d. b. bei der Darstellung von y durcheine nach Potenzen von x geordnete Reihe auf Grund einer zwischenx und y vorhandenen Gleichung. Gramer löst die Aufgabe mittelsdes analytischen Dreiecks mit Unterscheidung der beiden Fälle, dassdie Reihe nach steigenden oder nach fallenden Potenzen von x geordnetsein soll. Die ersteren Reihen nennt er 1 ) wachsend, scries croissantes,oder ansteigend, s. asccndantcs, die zweiten abnehmend, s. iticroissantes,oder absteigend, s. descendantes. Beide Gattungen von Reihen sollenconvergireu, nicht divergiren. Die Reihe ist convergent, wennman dem gesuchten Wurzelwerthe um so näher kommt, jemehr Reihenglieder man zusammenfasst; sie würde diver-gent sein, wenn man sich von dem Wurzelwerthe um somehr entfernte, je mehr Reihenglieder man zusammenfasste.Es ist klar, dass eine divergente Reihe irreführend oder mindestensnutzlos ist 3 ). Wann aber das Eine, wann das Andere der Fall sei,fragt Cramer gar nicht, geschweige denn, dass er darüber Auskunftertheilte. Soll eine steigende Reihe für y gesucht werden, so dientdas analytische Dreieck zur Auffindung ihres Anfangsgliedes Ax hunter Voraussetzung eines unendlichkleinen x, wie die Voraussetzungeines unendlichgrosseu x zur Auffindung des Anfangsgliedes Ax J ‘einer fallenden Reihe führt. Dann setzt man y = Ar 1 ' -)- u in diezwischen x und y gegebene Gleichung, welche dadurch in eine solchezwischen x und u übergeht, die nach der gleichen Methode behandeltu = Bx 1 + • • •, also auch y = Ax J ‘ -(- Bx‘ -f- • ■ • mit Kenntnisszweier Reihenglieder liefert. Bei Fortsetzung des Verfahrens könnteentweder u oder ein späteres Reihenglied mehr als nur einen Werthannehmen. Alsdann giebt es mehrere mit denselben Gliedern be-ginnende, später aber sich gabelnde Reihen 3 ). Die Punkte, woeine Gabelung eintritt, nennt Cramer unregelmässige 1 !. Wirmöchten in diesem hochinteressanten Kapitel nur noch auf zweiEinzelheiten hinweisen. Cramer bemerkt 8 ), dass, wenn ein einzigesReihenglied imaginär ausfalle, die ganze Reihe imaginär sei. Das istgenau der Gedanke Euler’s in der Abhandlung von 1749 (S. 795),die Cramer kaum noch zu Gesicht bekommen haben konnte. Fernerspricht Cramer von des Descartes mctiwde des indetermindes 6 ). Dasdürfte das erste Vorkommen dieses Kunstausdruckes sein.

‘) Cramer, Jntroduction n l’anaJyse des ligncs courbes pag. 177. * *) Ebenda

pag. 174: 11 est clair qu'une Serie divergente est trompeuse ou du moins inutile.

*) Ebenda pag. 184: La Serie se fourche. 4 ) Ebenda pag. 200: termes irre-guliers. 6 ) Ebenda pag. 184. •) Ebenda pag. 205.