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1 IG. Kapitel.

Das 8. Kapitel, Von den unendlichen Aesten der Curven,ist von einem Reicktkume und einer Langathmigkeit des Inhaltes 1 ),welche nur die Wahl übrig lässt, sehr ausführlich oder ungemeinknapp zu berichten. Wir ziehen das Letztere vor und erklären,dass hier die geometrischen Folgerungen aus den Lehren des7. Kapitels gezogen werden, indem wir nur wenige allgemeine Ge-danken kervorheben. Das Hinausrücken eines Punktes in die Unendlichkeit kann ebenso bei x = oo als hei y — x> erfolgen. Es genügtalso nicht, die Reihe y = Ax' 1 -f- Bx' + Cx k -f- • • • sich zu ver-schaffen, man muss auch, wozu freilich neue Vorschriften nicht er-forderlich sind, x in eine nach y geordnete Reihe entwickeln 2 ). Es«renüst ferner nicht, um einen unendlichen Curvenast kennen zulernen, bei dem ersten Gliede der Entwicklung y = Ax h stehen zubleiben 2 ). Es war gezeigt, dass man auch u - B. r*, 1 = Cx k findenkönne, und dass alsdann die ganze zu x — <x gehörende Ordinate deswirklichen Curvenpunktes ?/ + ?» + t + • • • sei. So wichtig es nunist, dass bei der Ausrechnung das reelle u gegen ;/, das reelle t gegenh ■ ■ ■ als unendlichklein vernachlässigt werden kann, so hört dieseErlaubniss auf, wenn u oder ( ■ ■ ■ imaginär wird. In diesem Fallewiederholt sich die im 7. Kapitel hervorgehobene Bemerkung, dassein imaginärer Bestandtheil der Ordinate sie ganz imaginär macht,und dass alsdann der unendliche Ast nicht wirklich vorhanden ist.Aber selbt bei lauter reellen Bestandtheilen ist eine Untersuchungvon u, t - ■ erforderlich, um zu wissen, ob keine Gabelung des un-endlichen Astes stattfinde. Die unendlichen Aeste sind entwederhyperbolische mit geradlinigen Asymptoten oder parabolische ohnesolche 4 ). Den Schluss des Kapitels bilden zehn Sätze über gerad-linige Asymptoten, die fast insgesammt nicht neu sind, vielmehr alsschon bei Newton, Stirling, Nicole, De Gua vorkommend inFussnoten nachgewiesen sind. Die Beweisführung Cramer’s von derMethode der Reihen aus ist jedoch so durchaus eigenartig, dass wiruns nicht versagen können, wenigstens über die des ersten Satzesvon dem paarweisen Vorkommen unendlicher Aeste 5 ) zu be-richten. Die Ordinate des unendlichfernen Punktes sei y = Ax/“-(- Bx‘ -(- CoA -)-■■■, und diese Reihenentwicklung sei durchaus reell,möge man x positiv oder negativ wählen. In diesem Falle muss esauf beiden Seiten der Abscissenaxe bei x = oo und bei x = — (x>einen unendlichfernen Punkt geben, der einem unendlichen Aste

') Cramer, Jntroduction ä Vanahjse des lignes courbes pag. 215—351.s ) Ebenda pag. 215. s ) Ebenda pag. 21G—217. 4 ) Ebenda pag. 230.

6 ) Ebenda pag. 342—343.