Analytische Geometrie 1718—1750. Gramer.

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angeboren muss. Zweitens kann die Entwicklung imaginär sein, dannführt sie überhaupt zu keinem unendlichen Aste. Aber die Entwick-lung kann drittens auch das sein, was Cramer an einer früheren Stellelialbi maginär genannt hat, d. h. sie enthält Potenzen von x mit

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gebrochenem Exponenten mit gradzahligem Nenner, z. B. x‘‘ n mitungradem m, und wird dadurch bei negativem x imaginär. Alsdann giebt es freilich nur bei x — -f- oo eine reelle Entwicklung,aber sie ist doppelt vorhanden, weil die Ausziehung der 2« lcn Wurzeldazu nöthigt, das betreffende Glied in die Entwicklung einmal mitdem Pluszeichen und einmal mit dem Minuszeichen eingehen zu lassen.

Das 0. Kapitel, Allgemeine Eintheilung der Linien derfünf ersten Grade, bedient sich schon bei den Kegelschnitten derunendlichen Aeste als Unterscheidungsmerkmal 2 ). Die im Unend-lichen den Ausschlag gehenden Glieder der Gleichung 2 tou Grades(i -f- by -f- cx -f- dy“ -f- exy -f- fx~ = 0 sind dy- -f- exy -j- fx i unddieser dreigliedrige Ausdruck ist entweder bei e < 2 ]/<//' das Productzweier imaginärer einfacher Factoren, oder bei e > 2 ]/<//' das Pro-duct zweier verschiedener reeller einfacher Factoren, oder bei e— 2das Product zweier gleicher reeller einfacher Factoren, und diese dreiMöglichkeiten entsprechen der Ellipse ohne unendlichen Ast, derHyperbel mit vier hyperbolischen unendlichen Aesten und zwei grad-linigen Asymptoten, der Parabel. Bei den Curven 3 tcn Grades heissendie im Unendlichen den Ausschlag gebenden Glieder qif -(- hxy-+ ix 2 y -f- Ix? und ihre Zerlegung in einfache Factoren führt zurUnterscheidung von vier Fällen: ein reeller Factor ist mit zwei ima<n-nären Factoren vervielfacht, oder alle drei Factoren sind reell undvon einander verschieden, oder von den drei reellen Factoren sindzwei einander gleich oder alle drei reelle Factoren sind einandergleich. Diese vier Fälle lassen dann weiter 14 Geschlechter unter-scheiden 3 ), was mit Newton’s Abzählung (S. 40ü) übereinstimmt.Aehnlich ist die Eintheilung der Curven 4 tou und f) teu Grades, welcheletztere Cramer zuerst unternahm. Es handelt sich immer um dasReellsein oder Imaginärsein der einfachen Factoren der im Unend-lichen den Ausschlag gebenden Glieder des Gleichungspolynoms derbetreffenden Curve, deren Zerlegbarkeit in Factoren vorausgesetzt ist,und wenn diese Factoren reell sind, um ihre Verschiedenheit oderGleichheit, Unterscheidungen, welche Cramer allerdings hier in andereWorte kleidet, indem er von der Anzahl der parabolischen und der

■) Gramer, Introduction n Vaimh/se des lignes courbes pag. 171. 5 ) Ebenda

pag. .'iü'2 — 35‘J. 3) Ebenda pag. 3ü'J.

Cantor, Geschichte der Mathematik. III, 3. 5*2