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HG. Kapitel.

hyperbolischen Aeste und der den letzteren zukommenden geradlinigenAsymptoten redet. Cramer kommt zu neun Gruppen von Curven4 ‘en Grades 1 ) und zu elf Gruppen von Curven f) ,cn Grades 2 ), jede mitzahllosen Unterabtheilungen.

Das 10. Kapitel, Von den singulären Punkten, den vielfachenPunkten, den Inflexionspunkten, den Schlängelungspunkten,behandelt zuerst die Inflexionspunkte und Schlängelungspuukte, inwelchen eine Berührungslinie nicht bloss zwei, sondern mehrere coinci-dirende Punkte 3 * ) mit der Curve gemein hat, und zwar 2n -f- 1 Punktein den Inflexionspunkten, 2«Punkte in den Schlängelungspunkten oderunsichtbaren Inflexionspunkten, welche nur die Analysis erkennt, derenAuge schärfer ist als das leibliche 1 ). Dann kommen die vielfachenPunkte, deren immer wieder durch das analytische Dreieck erleich-terte Auffindung darauf hinausläuft, dass man den Coordinatenanfangs-punkt mittels x = m -f- z, y = n -f- u verlegt. Lassen sich Werthevon m und n bestimmen, vermöge deren die umgeformte Gleichungkein constautes Glied mehr besitzt, so liegt der neue Coordinaten-anfangspunkt auf der Curve, und er ist ein einfacher, doppelter, drei-facher • ■ • Punkt, je nachdem die Unbekannten z und u in der neuenGleichung zusammengerechnet von der l ten , 2 teu , 3 ten • ■ • Dimensionanfangend vorhanden sind 5 6 !. Cramer zeigt dabei, wie man sich vieleüberflüssige Rechnung zu ersparen vermöge, wenn man die Gliederder einzelnen Dimensionen nach einander berechne, also aufhöre,sobald ein Glied irgend einer Dimension nicht mit dem Coefficienten < >behaftet erscheine. Ein isolirter Punkt tritt in einem Beispiele hervor®).Bei der Berechnung anderer Beispiele erscheinen auch Gleichungenmit nur einer Unbekannten und mehrfachen Wurzeln. Cramer hemerkt 7 ), dass eine von Hudde herrührende Methode bei der Aufsuchuug solcher Wurzeln gute Dienste leiste und verweist für die-selbe auf den dritten Anhang.

Das 11. Kapitel, Von der Methode der Tangenten. Vonden Inflexionspunkten u. s. w. Von den grössten und kleinstenAhscissen oder Ordinaten u. s. w., baut auf die im 10. Kapitelfestgestellte Thatsache weiter, dass die Verlegung des Coordinaten-anfangspuuktes auf die Curve selbst die Curvengleichung in die Gestaltbringt, dass sie nunmehr durch die Dimension ihrer niedersten Glieder

*) Gramer, Introduction ä l’anahjsc des lignes courbes pag. 395—390.

*) Ebenda pag. 397—398. ^ Ebenda pag. 401: Points infiniment proehes Tun

de Fant re et coincidents. *) Ebenda pag. 403: L’infle.vion ne parait plus/quoi-

qu’elle e.riste reellcmcnt dam un espace infiniment petit, et qu’eUe soit sensible ti

VAnalyse, dont la nie, si Von ose jmrler uinsi, est plus pereunte que la nötre.

6 ) Ebenda pag. 415. °) Ebenda pag. 449. 7 ) Ebenda pag. 445.