Analytische Geometrie 1748—175G. Cramer.

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die Vielfachheit des zum neuen Anfangspunkt gewählten Curvenpunktesanzeigt. Wir hätten vielfach auf Parallelstellen im II. Bande vonEuler’s Introductio hinzuweisen Gelegenheit gehabt. Wenn wir es inder Kegel unterliessen, so wollen wir doch hier an das 18. Kapiteljenes Bandes erinnern (S. 783—784). Euler wusste', dass der Gradder Vielfachheit des als Anfangspunkt gewählten Curvenpunktes demGrade des niedersten Gleichungsgliedes entspricht. Er wusste, dass,wenn nur das constante Glied in der umgewandelten Curvengleicliungfehlt, die = 0 gesetzten Glieder erster Dimension die Gleichung derBerührungsliuie im Coordinatenanfangspunkte darstellen. Auch dieseFolgerung entging Cramer nicht, aber er verallgemeinerte sie noch.Er erkannte in den = 0 gesetzten Gleichungsgliedern niedersten Rangesf/y‘ -f- hxy‘~~ l -f- • • • -f- Ix 1 die vereinigten Gleichungen der Berührungs-linien an die im Anfangspunkte zusammentrelfenden t Curveuäste 1 );er sprach beweislos aus, was er im !>. Kapitel schon vorausgesetzthatte, dass jene Glieder t u ' T Dimension in t einfache Eactoren(Ay -f- ax) (]{}/ -f- ßx) (Cy -f- yx) ■ ■ • zerfallen, worin eine Begegnungmit dem 18. Kapitel des II. Bandes von Euler’s Introductio (S. 787)zu erkennen ist. Ein maschinales Verfahren zur Bestimmung der

o

Vielfachheit des Coordinatenanfangspunktes und der Gleichung derdort vorhandenen Berührungslinien-) gestattet das analytische Dreieck.Sei etwa die Conchoide ifx 2 -f- x' — 2 a xy- — 2ax 3 -f- tri/ 2 -f-(a 1 — b 2 ) x- = 0 zu untersuchen. Man legt das Dreieck mit derSpitze nach unten, so dass die Felder von unten nach oben im rechtenSchenkel 1, x, x 2 , x 3 , x 3 und im linken Schenkel 1, y, y 2 , y'\ //'heissen. Man bezeichnet die Felder, welche mit vorhandenen Gliederngleichnamig sind, durch einen Stern, die leeren

Felder durch ein Bingelchen. Das Leersein 00 * 0 *der beiden unteren llorizontalzeilen iFig. 135) 0 * 0 *

zeigt, dass der Coordinatenanfangspunkt (er ist * 0 *

der Pol derjenigen Abart der Conchoide, welche 0 0

eine Schleife besitzt) ein zweifacher Punkt ist. 0

I 11 der dritten Zeile von unten tragen die Felder Fig . 135 .

x 2 und //- Sterne, also ist x 2 y 2 -f- (a 2 — h 2 ) x' 2 = 0

die Gleichung der beiden Berührungslinien, welche ina)/-j -]/« 2 —lrx = 0und ay — }/a 2 — b 2 x = 0 zerfällt. Eine durch die Substitutionen

x = ru, y = su bewirkte Drehung der Ordinatenaxe lässt — = —

’ 0 y s

erscheinen und verwandelt die Curvengleicliung a -f- (hy -f- ca - )

*) Gramer, Introduction <1 Vanahjse des liynes courbes pag.4G.‘i. s ) Ebendapag. 412 und pag. 4C<>.