Maximal- unil Minimalaufgaben. Euler's Methodus inveniemli. 825

zu den in diesem Kapitel behandelten Fragen steht, dürfen wir nichtübergehen.

Schon in der Vorrede zum II. Theile der Mechanik 1 ) sagt Euler:Ich habe bewiesen, dass ein durch keine Kräfte angetriebener Körpersowohl auf einer gegebenen Linie als auch auf einer gegebenen Ober-fläche sich gleichförmig bewegen müsse; dass aber auf der letzterender Weg des Körpers die kürzeste Linie sein werde, welche auf dieserOberfläche gezogen werden kann.

Gleich im 1. Kapitel von der nichtfreien Bewegung im Allge-meinen ist der 8. und 9. Satz 2 ) dazu bestimmt, die in der Vorredeausgesprochene Behauptung zu rechtfertigen. Der 8. Satz hat fol-genden Inhalt. Sei ( Fig. 140) auf der Ober-fläche ABC ein Weg DM durch einen be-wegten Körper durchlaufen. An und fürsich hätte der Körper alsdann die Neigung,sich in der Tangentialrichtung Mn zur seit-herigen Bahn weiter zu bewegen, wenn demnicht der Zwang auf der Oberfläche zubleiben entgegenstünde. Um die thatsäeh-liehe Bahn der Fortbewegung des Körperszu ermitteln, zerlegt man das in einemZeitelemente zu durchlaufende WegelementMn in zwei Componenten, in die zur Oberfläche senkrechte nm || MOund in die der Oberfläche selbst angehörende Mm. Die Bewegungnm wird durch den genannten Zwang aufgehoben, die Bewegung Mmwird durch jenen Zwang nicht verändert und bleibt die eigentlicheBahn des Körpers. Die Ebene Mmn auch nach rückwärts in derliiehtung der MD fortgesetzt, enthält die zur Oberfläche senkrechtenm, ist also selbst senkrecht zu dem als Ebene aufzufassenden Flächen-element, die Bewegungsbahn hat also die Eigenschaft, dass die Ebene,in welcher zwei beliebige zusammenhängende Elemente derselbenliegen, normal zur Oberfläche steht. Das ist die Eigenschaft derkürzesten Linie, welche Johann Bernoulli schon 1098 kannte(S. 2.14), welche aber, da dessen Briefwechsel mit Leibniz erst 1745im Drucke erschien, 1736 für die Oeffentliclikeit noch neu war.Euler dürfte sie selbständig erkannt haben und musste sie beweisen.Das that er im 9. Satze. Der Krümmungshalbmesser der CurveDMm liegt in der durch zwei zusammenhängende Curvenelementebestimmten FIbene und fällt deshalb in die Richtung der Flächen-

’) Euler’s Mechanik (deutsch von .1. l’h. Wolters) II, 3.II, -24—2’J.

Cantor, Geschichte der Mathematik. III, 3. 53

-) Ebenda