117. Kapitel.

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normale il/O, während er zugleich senkrecht zur Curve I)Mm ist.Es war also einestheils der Krümmungshalbmesser einer beliebigenFliichencurve im Punkte M, anderentheils die Flächennormale inebendemselben Punkte M zu ermitteln und alsdann die Frage zu be-antworten, unter welcher Bedingung beide Bichtungen zusammenfallen.Die Antwort bringt Euler in die Gestalt einer Differentialgleichung,welche genau ebendieselbe ist, die er im III. Bande der PetersburgerC'ommentarien, auf den er sich ausdrücklich bezieht, als Gleichungder kürzesten Linie (S. 819) gefunden hatte. Soweit war Doppelteserreicht: es war gezeigt, dass die Bewegungsbahn eines zum Ver-bleiben auf einer Oberfläche genöthigten Körpers eine kürzeste Liniesei, es war die geometrische Haupteigenschaft der kürzesten Linienentdeckt, nachentdeckt, wie wir sagen müssen, da Johann Bernoulli’s Vorrecht durch seinen vorerwähnten Briefwechsel gesichert ist.

Ein Zusatz zum 8. Satze 1 ) sagt: Ein auf der Oberfläche ausge-spannter Faden bezeichnet die kürzeste Linie, und daher wird der-selbe zugleich den Weg angeben, auf welchem der Körper an derOberfläche fortgeht. Vielleicht darf man annehmen, Euler sei ziem-lich gleichzeitig auf Satz 8 und auf diesen Zusatz gestossen, der ihndann veranlasste, in Satz 9 den Nachweis des Besitzes der Eigenschaftdes Satzes 8 für die kürzesten Linien zu liefern. Hat man doch auchfür Johann Bernoulli die Entdeckung eben jener Eigenschaft derkürzesten Linien mit mechanischen Untersuchungen, nämlich mit derAufsuchung der Kettenlinie, in Verbindung zu bringen gewusst 2 ).

Im 4. Kapitel, von der Bewegung eines Punktes auf einer ge-gebenen Oberfläche 3 ), ist wiederholt von kürzesten Linien die Rede,ist wiederholt auf die Abhandlung von 1728 Bezug genommen. Wirbegnügen uns damit, dieses zu bemerken und zu gleicher Zeit daraufaufmerksam zu machen, dass Euler schon hier eine volle Beherrschungder analytischen Geometrie des Raumes an den Tag legte, wenn auchdie im Anhänge zum II. Bande der Introductio zusammengestelltenEntdeckungen noch fehlten, vielleicht auch nur noch nicht zum Aus-spruche kamen, weil keine Gelegenheit dazu vorlag.

In dem Erscheinungsjahre 173(5 der Mechanik legte Euler derPetersburger Akademie eine Abhandlung unter dem Titel Curvarummaximi minimive propridatc yaudentium invmtio nova ct facilis 4 ) vor.

') Euler’s Mechanik (deutsch von J. Ph. Wolfers) II, 25, Zusatz 2.*) P. Stiickel, Berichte der Königl. 'Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaftenzu Leipzig vom 3. .luli 1803. S. 447—44S. s ) Euler’s Mechanik (deutsch

von .1. Ph. Wolfers) II, 410—4G0. 4 ) Commentarii Academiae l'etropolitanae

ad annum 173(1. T. VIII, 150—100.