Maximal- und Minimalaufgaben. Jiuler's Methodus inveniendi. 827

Die Bedeutung dieser neuen und leichten Auffindung von mit Maximal-oder Minimaleigenschaften versehenen Curven ist schon aus folgendemihrer Einleitung entnommenen Satze ersichtlich: „Ich bin jüngst aufderartige Fragen gestossen, zu deren Erledigung die früher von miraufgestellten Formeln nicht genügten, so dass ich mich genöthigt sah,neue weitere Aussichten eröffnende Formeln zu betrachten und fürsie zur Auflösung der Aufgabe geeignete Werthe zu suchen.“ Erwill also die 24 früher betrachteten Einzelformeln (S. 822) zunächstdurch eine einzige ersetzen und dann früher noch Unberücksichtigteserledigen. Euler bedient sich dabei römischer Zahlzeichen als Stellen-zeiger, welche über den Buchstaben angebracht andeuten sollen, dassvon einem Raumpunkte zu einem zweiten, dritten u. s. w. Consecutiv-punkte übergegangen sei, für welche die mit dem Stellenzeiger ver-sehenen Buchstaben das Gleiche bedeuten, wie die nichtindicirten

i

Buchstaben für den ursprünglichen Punkt. Demnach ist y = y- f- (ly,n i n

?/ = ?/+ 2 dy -(- (Py, dy = dy + (Py, dy = <hy -j- 2d' l y -{- (Py,i i

(Py = (Py -j- (Py, Q — Q + dQ u - s. w - Ferner bedeutet p die ersteAbleitung von y nach x, s die Bogenlänge, so dass dy = pdx,ds — }/1 -|- p 2 dx ist, wobei dx als constant gilt. Stellt nunjQdx das Integral vor, von welchem gewünscht wird, dass es eineMaximal- oder Minimaleigenschaft erhalte, und ist Q eine Functionvon s, y, x, p, so wird (IQ = Lds -f- 4/ dy -{- Kdx -{- Vdp, oder mit

anderen Worten: es ist ?—= L, ~ = M, ?■— = K, ^ = V.Das auf das einzelne Element ab der gesuchten Curve bezügliche

i

Qdx wird in dem consecutiven Elemente bc zu Qdx, und für die

i

beiden Curveneleinente ab -j- bc zusammen findet Qdx -(- Qdx statt.Bei einer benachbarten Curve, welche zwischen a und c einenZwischenpunkt ß besitzt, bringt der Uebergang von ab nach aß nur

die Veränderung von p in p -j- ^ zu Stande, während die dem Punkte

a entsprechenden x, ?/, s unverändert bleiben, daher ist hier dQdx= V-bß. Der Uebergang von bc nach ßc dagegen verlangt, dass

in Q die Grössen y, s, p in y + bß, s -f- - J ^ 9 , p — (/ 9 übergehen,

i r i i ii i 1 i -|

und dadurch wird dQ dx = \_L ds -(- 31 dy -f- Ndx -j- Vdp J dx —

L ^ -f- Mdx - bß — V ■ bß. Der Unterschied zwischen den

Ausdrücken, welche der Elementensumme ab -f- bc und derjenigen

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