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117. Kapitol.
aß -f- ßc entsprechen, ist daher
V+
L dx dyd $
+ Mdx — V
Iß oder
L dx dyds
+ Mdx — dV
bß, und da derselbe = P b ß sein und
P = 0 die Curvengleichung darstellen soll, so heisst eben diese 1 )i x
Ldxdy -)- Mdxds = dsdV, wo alsdann die Indicirung von L und Mweggelassen ist. Euler zeigt die Anwendung dieser Formel an Beispielen, auch an solchen, deren Maximal- beziehungsweise Minimal-
eigenschaft sich nicht auf ein einfaches Integral j Qdx, sondern auf einDoppelintegral J Q dx j Rdx bezieht 2 ), und wo das gelehrte Verfahrenweniger einfache, aber doch dem Grundgedanken nach ganz ähnlicheErgebnisse zu Tage fördert.
Wesentlich anderer Natur wird aber die Aufgabe, wenn dieFunction ausser x, y, s und deren erste Differentiale auch zweiteDifferentiale in sich sehliesst 3 ) und vier Curvenelemente der Be-trachtung zu unterziehen sind. Euler fügt seinen bisherigen Be-zeichnungen noch r für die zweite Ableitung von y nach x bei, setzt
also dry — r ■ dx~ und d’s = pt ^5. , und nimmt = W an. Indiesem Falle erhält er die Curvengleichung 1 ): drW—dV ■ dx -j-L t L x i _ d 'i _)_ j\f. dx 1 = 0, und unter den Beispielen für diese An-nahme ist die berichtigte Herleitung der Brachistochrone im wider-stehenden Mittel zu finden 5 !. Im noch allgemeineren Falle, dasswieder ein Doppelintegral in Frage komme, führt die Darstellungvon P zu einer äusserst verwickelten Exponentialgrösse 6 ).
Gegen Ende der Abhandlung kommt Euler zu dem wichtigstenErgebnisse von der Unrichtigkeit von Jacob Beruoulli’s Vor-aussetzung, von welcher er selbst, wie alle seine Vorgänger, biszu diesem Zeitpunkte unbedenklich ausgegangen war. Wenn, sagter 7 ), unter allen die Punkte o und z verbindenden Curven eine be-stimmt werden soll, bei welcher die bedingende Function <ß weder snoch ein Integral einschliesst, dann wird die Curve oz die betreffendeBedingung erfüllen, insofern jedes ihrer Elemente oa die gleicheEigenschaft besitzt; hängt dagegen Q von s oder von einem Integraleab, so kann die Curve oz die Grösse jQdx zu einem Maximum oderMinimum machen, auch ohne dass irgend eines ihrer Elemente dergleichen Eigenschaft theilhaftig wäre.
*) Commentarii Acadeiniae PetropoliUinae ad anmtm 1730. T. VIII, 104.s) Ebenda VIII, 105. s ) Ebenda VIII, 107. 4 ) Ebenda VIII, 100. 6 ) EbendaVIII, 17-2—174 und 180—181. 6 ) Ebenda VIII, 184. 7 ) Ebenda VIII, 188.