Maximal- und Minimalaufgaben. Euler's Methodus inveniendi. 820

Man begreift, dass Johann Bernoulli , auch wenn sein Charakterein anderer gewesen wäre, und wenn er nicht so eifersüchtig darübergewacht hätte, dass ihm der Ruhm seiner unleugbar ausserordent-lichen Verdienste nicht vorenthalteu bliebe, nur mit einigem Ver-drusse sehen konnte, wie Euler und, wenn auch in geringerem Maasse,Clairaut die Aufgabe von der kürzesten Linie erledigten, ohne dassseiner anders gedacht wurde als dadurch, dass Euler ihn 1728 alsDenjenigen nannte, durch welchen er selbst auf den Gegenstand hin-gewiesen worden sei, und der sich in Besitz der allgemeinen Lösungbefinde (S. 817). Bernoulli musste die Gelegenheit der Herausgabeseiner Gesammtwerke 1742 benutzen, um zu veröffentlichen was, weilschon überholt, in Akademieschriften nicht mehr gut unterzubringenwar, und er fügte, wie schon (.S. 235) angedeutet wurde, eine Fuss-note des Inhalts bei, die Niederschrift rühre nicht von ihm selbsther, sondern von Professor Ivlingenstierna in Upsala, welchem erEnde 1728 die entsprechenden Mittheilungen gemacht habe, eineDatiruug, welche sich sehr gut damit deckt, dass Euler schon etwasfrüher die Aufgabe vorgelegt erhielt. Johann Bernoulli hat dann derKlingenstierna’schen Fassung noch Verschiedenes beigefügt, Erläute-rungen und Zusätze, für welche er auch die stylistische Verantwor-tung übernahm 1 ). Nach einleitenden Bemerkungen über ein recht-winkliges Coordinatensystein der x, y, z, zwischen welchen eineGleichung als Flächengleichung gedacht ist, stellt Johann Bernoulli die Aufgabe der kürzesten Linie und findet ihre Lösung darin 2 ), eswerde die Ebene, welche durch drei einander unendlich nahe liegendePunkte einer kürzesten Linie bestimmt sei, senkrecht zur Berührungs-ebene der Oberfläche stehen. Einen Beweis für diese Behauptungsucht man vergeblich. Was Johann Bernoulli giebt, ist eine Gleichung,welche unter der Voraussetzung des gegenseitigen Senkrechtstehensjener beiden Ebenen zu einander erfüllt wird, und welche die Diffe-rentialgleichung der kürzesten Linie ist. Aendert man die Buchstabenund einige Annahmen, so zeigt sich volle Uebereinstimmung mitEuler’s Ergebnisse von 1728, wie in einem Seholium gezeigt wird 3 ).Johann Bernoulli hat bei dieser Gelgenheit der durch drei Consecutiv-punkte einer Raumcurve bestimmten Ebene den Namen d6r oscu-lirenden Ebene, planum osculans 1 ), beigelegt, welcher von manchenSchriftstellern beibehalten worden ist, während andere ihn durch dender Schmiegungsebene ersetzten. Den Rest der Abhandlung bildenBeispiele.

*) Joh. Bernoulli, Opera IV, 111, Fussnote: Scholii hujus ut et sequen-tium sunt ipsius Authoris ccrba. *) Ebenda IV, 109. n j Ebenda IV, 112.4 ) Ebenda IV, 113 und 115.