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Abschnitt XX.

eine Zahl nichts anders ist als das Verhältnis, worinnen eine Größegegen eine andere, welche für die Einheit angenommen wird, steht.Hieraus ist klar, daß sich alle Größen durch Zahlen ausdrückenlassen, und also der Grund aller mathematischen Wissenschaften daringesetzt werden muß, daß man die Lehre von den Zahlen ... genau inErwegung ziehe, und vollständig abhandele.“ Hier ist der Gedanken-gang dem von uns oben angedeuteten entgegengesetzt. Die quanti-tative Idee wird der Zahl zugesckrieben und daraus der Schluß ge-zogen, daß Mathematik die Wissenschaft von der Größe sei. Dannund wann findet man auch in anderen Lehrbüchern dieser Zeit dieZahl ausdrücklich als ein Verhältnis erklärt. „Das 1 selber ist eineZahl: denn 1 hält eine Verhältnuss zu eins“, sagt einer 1 ). „Das Ver-hältnis irgend einer Größe zu einer gleicher Art, die als Einheit er-wählt ist, wird eine Zahl genannt, und man nennt Arithmetik dieWissenschaft von solchen Verhältnissen“ 2 * ). Gewöhnlich wird aberder Begriff des Verhältnisses oder des Messens nicht so scharf her-vorgehoben, so daß man im Zweifel ist, ob das Zählen als ein wirk-liches Messen aufgefaßt wurde. „Eine Menge von Dingen einer Artheißt eine ganze Zahl“, sagt Kästner 8 ). Diese Definition der Zahlist der Euklidischen, „eine aus Einheiten bestehende Menge“, ganzähnlich und hat keine notwendige Verknüpfung mit Verhältnissen.Bei Euklid waren Verhältnisse keine Zahlen. Bei Bezout 4 ) scheintder Meßbegriff - vorzuherrschen, denn er sagt: „le nombre exprime decombien d’unites, ou de parties d’unites, une quantite est composee“und „l’unite est une quantite que l’on prend . . pour servir de termede comparaison ä toutes les quantites d’une meine espece“. AndereSchriftsteller führen unbedeutende Wortänderungen ein. „Mehreregleichnamige Einheiten machen eine Zahl aus“ 5 ). „Mehrere solchezusainmengestellte Einheiten gehen eine ganze Zahl“ 6 ). Ob bei diesenund ähnlichen Ausdrücken, die in Lehrbüchern allgemein Vorkommen,die Zahl ausschließlich als ein Verhältnis anzunehmen ist oder nicht,hängt davon ab, ob die Schriftsteller stillschweigend den Gedanken-gang von Newton und Wolf oder von Euklid befolgten.

J. F. Heynatz 7 ) macht die Bemerkung: „Einige leugnen, daßEins oder die Einheit eine Zahl sey, und lassen nur das, was durchdie Wiederholung der Einheit herauskömmt . . für eine Zahl gelten“.

') Jacob Friederich Maler, Unterricht zum Rechnen, Carleruhe 1765,

S. 23. *) E. Develey, Arithmetique D’Emile, 2. Ed., Paris 1802, p. 2.

*) Kästner, op. cit. S. 21. 4, i Bäzout, op. cit. T. I, p. 2. 5 ) Matthias Haußer,

Analytische Abhandlung der Anfangsgründe d. Mathematik, I. Teil, Wien 1778,

S. 1. 6 ) Johann Georg Prändels Arithmetik, München 1795, S. 3

’) Heynatz, op. cit, S. 3.