Algebra.

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weil nun — a als eine Schuld angesehen werden kann, so ist offen-bar, daß wann diese Schuld 3 mal genommen wird, dieselbe auch3 mal größer werden müsse, folglich wird das gesuchte Product — 3 aseyn.“ Nicht so klar ist der nächste Ausspruch, daß „wann einepositive Größe mit einer negativen multiplicirt werden soll, das Pro-duct negativ werde", da der Fall, wo + a mit — b multipliziertwerden soll, gar nicht besprochen wird. Euler fährt fort (Art. 33):„Nun ist also noch dieser Fall zu bestimmen übrig: nämlich, wann —mit — multiplicirt wird, oder — a mit — b. Hierbey ist zuerstklar, daß das Product in Ansehung der Buchstaben heißen werde,ab: ob aber das Zeichen + oder — dafür zu setzen sey, ist nochungewiß, so viel aber ist gewis, daß es entweder das eine, oderandere seyn muß. Nun aber, sage ich, kann es nicht das Zeichen —seyn? Dann — a mit + b rnult. giebt — ab, und also — rt mit — bmult. kann nicht eben das geben, was — « mit + b giebt, sondernes muß das Gegentheil herauskommen, welches nehmlieh heißt, + ab.Hieraus entsteht die Regul, — mit — multiplicirt giebt -f eben sowohl als -f mit +.“ Diese Aussprüche soll der Leser augenscheinlichals einen Beweis der paradoxischen Zeichenregel akzeptieren, obschonman dieselben kaum eine Demonstration nennen darf. Euler hättebeinahe ebenso gut behaupten können, das Produkt sei — a b, weiles eben nicht das geben kann, was + a mit + b gibt; ein Schluß'den wir später (S. 85) bei Daniel Porro wirklich vorlinden.Euler sucht gar nicht zu entscheiden, inwieweit die Operationsregelneinfach auf Voraussetzungen beruhen und inwieweit sie wirklich be-wiesen werden können.

Die Beweisführungen dieser Regel in anderen Lehrbüchernweichen gewöhnlich von der Eulerschen bedeutend ab. „Um zu be-weisen," sagt Saunderson 1 ), „daß +4 multiplizirt mit —3, —12macht, multiplizire man -j- 4 nach einander mit + 3, 0 und — 3, unddie Produkte machen eine arithmetische Progression; die zwey erstensind 12 und U, das dritte also — 12, und das Produkt von + 4 mit— 3 gleich — 12." Schreibt man hier überall — 4 und + 12, statt+ 4 und — 12, hat man Saundersons Nachweis, daß —• — = +.Der Leser muß dabei mit dem Satze „bekannt gemacht worden seyn“,daß wenn Zahlen in arithmetischer Progression durch einen Multipli-kator, oder wenn eine Zahl durch jede Zahl einer arithmetischenProgression multipliziert wird, die Produkte ebenfalls eine arithme-tische Progression bilden. Dieser ohne Beweis angenommene Satzbirgt aber wichtige Voraussetzungen in sich.

‘) Saunderson, Aufl. Griison, 1798, I, S. 113,

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