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Abschnitt XX.
Die Nachweise von Segner 1 ), Karsten 2 ) und Da Cunha 8 ) rulienauf einem unbewiesenen Satz und setzen zu gleicher Zeit stillschwei-gend voraus, daß 1 ■ + b = + b und 1 ■ — b = — b ein Teil dessen,was die Autoren beweisen wollen. Der Satz lautet: Wenn in einerProportion die zwei ersten Glieder gleiche (oder ungleiche) Zeichenhaben, müssen die zwei letzten auch gleiche (oder ungleiche) Zeichenhaben. Es ist 1 : a = — b : a (— b), 1 : — a = b : (— a) b,1 : a = b: a . b, 1 : — a = — b : (— a) (— b). Also müsse -\- a ■ — b und_ a • + b = — ab, aber -f- a ■ + b und — a ■ — b = ab sein.
Clairaut betrachtet in seiner Algebra (Art. 43, 44, 45, 60) dasProdukt (« — b)(c — d), wo (a — b) so viel mal zu nehmen ist, alsin (c — d) Einheiten sind. Man hat (a —- b) c = ac — bc. Um aberdas richtige Resultat zu erlangen, muß man (a — b)d oder ad — bdabziehen, wodurch man das wahre Endresultat ac—bc — ad + bderhält. „Es erhellet folglich zugleich, daß das Glied bd, . . . dasZeichen + hat, da indessen die Buchstaben b und d, . . . das Zeichen— haben.“ Damit ist aber Clairaut nicht zufrieden. Man mußnoch sehen, „ob, wenn zwo negative Größen, als — b und — d, keinepositive Größe vor sich haben, ihr Produkt noch bd sey“. Zu demZweck setzt er a = c = 0 und erhält — b ■ — d = bd. ThomasSimpson geht nicht so weit; er betrachtet das Produkt von(a — b) (c — d), ohne am Ende a = c = 0 zu setzen, und erkennt einenVorzug seines Verfahrens darin, daß Multiplikator und Multiplikandbeide zusammengesetzte Größen sind. Einfache Größen, wie — bund — c, unabhängig von anderen, seien unmögliche Größen, wegender Unmöglichkeit, Etwas von Nichts abzuziehen. Es sei deshalblächerlich durch wirkliche Demonstration zeigen zu wollen, was dasProdukt von — b und — c oder von ]/— b und Y~ c sein muß,wenn man von den Werten der zu multiplizierenden Größen keineIdee habe.
William Frend 4 ) kritisiert das CIairautsche Verfahren a=c = Uzu setzen, weil Clairaut das Zeichen — als Subtraktionszeichendefiniert habe, und die Subtraktion, in der Abwesenheit eines Minuenden,keinen Sinn habe, also — b und — d nicht selbständig existierenkönnen. Der Beweis, den wir von Simpson entnahmen, wird vonBezout, Sauri, Lhuilier 6 ) und vielen anderen Autoren angegeben.
Eine zweite weitverbreitete Beweismethode entnehmen wir aus