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Abschnitt XX.

erreicht habe. Euler schreibe in seiner Algebra {]/— 3)“ = — 3,setze aber ")/— 1 ■ ]/— 4 = ]/4 = 2. Wie könne die Gleichheit oderUngleichheit der Faktoren die Zeichen beeinflussen? Er schreibe

auch — 1 = V— 1, woraus V — 1 • 1 = Yß- 1 zu ziehen

sei. Uber die Behauptung von Emerson, daß das Produkt imagi-närer Größen selbst imaginär sein müsse, bemerkt Hutton, daßdie Schriftsteller in ihren Ansichten hierüber ziemlich gleich geteiltseien.

Imaginäre Zahlen werden in der Geschichte der Gleichungs-theorie sehr oft auftreten. Auch spielen sie in der Diskussion überLogarithmen von negativen Zahlen eine hervorragende Rolle.

Wir lassen nun einige Einzeluntersuchungen folgen.

Die Zerlegung eines Bruches in Partialbrüche wird von NicolausFuß in seinen Meditationes circa resolutionem fractionisx m j(x — a)(x — b)(x — c)(x — d) etc. in fractiones simplices, ubisitnul demonstratio insignis theorematis arithmetici occur-ritD durch einen von dem Verfahren Eulers in seinen Institutionescalculi integralis verschiedenen Vorgang ausgeführt. Fuß setzt

(I;, ( x m /(x — a)(x — b)(etc.) = ujx — a -f ßjx -b-\ -, multipliziert

nun mit (x — a) und nimmt x = a, woraus u =a m /(a — b)(a — c)(etc.)hervorgeht. Die gleiche Methode ergibt die Werte von ß, y, . .Multipliziert man beide Seiten von (I) mit x, und setzt x = oc, hat.man 1 = a + ß + • • •, wenn m -+- 1 der Anzahl Faktoren n gleichist; wenn aber m + 1 < n ist, ergibt sich () = « + /! + ■•• LetztereFormeln enthalten den im Titel angedeuteten arithmetischen Satz.

Eine neue Bruchvereinfachungsmethode wurde von Euler in derAbhandlung Nova methodus fractiones quasconque rationalesin fractiones simplices resolvendi 2 ) auseinandergesetzt. Wir

P

wählen das einfache Beispiel eines Bruches ^, dessen Nenner den Faktor

'r

(z — af hat. Man setze z = a + co und gebe dem Bruch die Form

A + Ba>+ Coo ! +B’ + Ca 4- l/oi- +

-s — 4s ( ß + ß co + f 0 * + •••)>

. , A 3 B AC

woraus sich k = , ß = —

ergibt. Die Methode ist auch

B’ ’ B ' B’-’

auf transzendente Funktionen anwendbar. In der Behandlung dessin <t>

Bruches

tan <t> — cos Ü>

werden, im Laufe der Analysis, imaginäre

*) Acta Acad. scient. imp. Petr, pro anno 1777, pars prior. Petropoli 1778,p 01—104. *) Ebenda. 1780, pars prior. Petropoli 1783, p. 32—46.