Algebra.
93
Festlandes scheint er wenig in Briefwechsel gewesen zu sein. ImJahre 1782 bemerkte er, daß er 1763 ein Exemplar seiner Miscel-lanea an L. Euler , und 1770 Exemplare seiner Meditationesalgebraicae an D’Alembert, Bezout, Montucla, Euler , La-grange und Frisi geschickt habe. Aber nur Frisi habe den Empfangdes Werkes bestätigt 1 ). In seinen Schriften erwähnte aber La-grange 1771 die Verdienste Warings. Die Meditationes alge-braicae seien ein „ouvrage rempli d’excellentes recherches“ 3 ). Waringwurde 1763 als Mitglied der Royal Society of London aufgenommen,aber schon 1757 schickte er, wie er selber erzählt 3 ), einige Unter-suchungen ein, welche er zur Zeit seiner Kandidatur 1759 druckenließ. Unter diesen soll eine Methode, die Anzahl imaginärer Wurzelnin der Quartic und Quintic und in x n + Ax m + B = 0 zu finden, ge-wesen sein 4 ). Es ist wahrscheinlich letztere Mitteilung, welche 1764von der Royal Society gedruckt wurde 5 ). Ohne Beweis führt er dortSätze über die Anzahl komplexer Wurzeln der Gleichungenx i + qx 3 — rx + s = 0, x s + qx % — rx 3 + sx — t = 0 an. Ist in derQuartic der Ausdruck 256s 3 —128 q 2 s 2 + (144 r 2 q -f 16 q*) s — 27r 4 — 4r 3 (/ 3 negativ, so existieren zwei imaginäre Wurzeln; ist dieserAusdruck positiv, und entweder — q oder q~ — 4 s negativ, dann sindalle Wurzeln imaginär; verschwindet dieser Ausdruck, und ist ent-weder — q oder q 3 — 4s negativ, so sind die zwei ungleichen Wurzelnimaginär. Ähnliche, aber viel weitläufigere Ausdrücke sind für dieQuintic angegeben 6 ). Waring war der erste, ein solches Kriterium'für die Quintic abzuleiten. Dieses ist durch eine von ihm erfundeneTransformation erzielt worden, wodurch eine Gleichung deduziert wird,deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeldifierenzen der vorgelegtenGleichung sind, um dadurch notwendige, sowie auch hinreichende Be-dingungen für das Vorhandensein imaginärer Wurzeln zu erhalten.In den Miscellanea analytica, 1702, S. 17, werden die drei erstenGlieder der allgemeinen transformierten Gleichung ohne Ableitung an-gegeben. Wenn die Zeichen derselben beständig abwechseln, habedie vorgelegte Gleichung keine imaginären Wurzeln. Dieses berühmteVerfahren hat später Lagrange unabhängig ausgearbeitet. In seinennachfolgenden Werken hat er aber Warings Priorität angezeigt 1 ).
Waring fängt in den Miscellanea analytica mit der Ab-
‘) Meditationes algebraicae, Ed. tertia, 1782, p. XXI. *) Lagrange,
Oeuvres, T.HI, p. 370. *) Med. alg. 1782, p. XXVIII. 4 ) Phil. Trans. (London ),Vol. 77, 1787, p. 71. Vgl. Med. alg. 1782, p. 91. 6 ) Phil. Trans., Vol. 53. Forthe year 1763, London 1764, p. 294—208. *) Abgedruckt in Med. alg. 1782,
p. 85, und in Lagrange, De la resol. des equat. num. Note III. 5 De la
resolution des equations numeriques, Paris , An VI, Note Eli.