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Abschnitt XX.

leitung seiner Formel für die Potenzsummen der Wurzeln an. Sieunterscheidet sich von den Newtonschen dadurch, daß statt durchrekurrierende Darstellung eine Summe s n durch Summen niedrigeren(irades, s n _ lt s n _ 2 , . . ., zu berechnen, sie die Summe ganz unabhängigvon früheren Ergebnissen darstellt. Auch führt Waring eine Formelfür die Darstellung eines Koeffizienten der Gleichung durch diePotenzsummen Sj, s 2 , . . . au. Gleichfalls als Waringsche Formelnbekannt sind diejenigen 1 ), mittels welcher man beliebige ganze sym-metrische Funktionen mit Gliedern u"ß , 'y c ö' i e e usw. direkt als Funk-tionen der Gleichungskoeffizienten ausdrückeu kann. Er skizziertdann das Verfahren, mittels symmetrischer Funktionen eine Gleichungzu finden, deren Wurzeln irgend eine gegebene Relation zu denWurzeln einer oder mehrerer gegebenen Gleichungen haben. Durch

die Annahme v = X n könne man dasselbe zur Wegschaffung von1

Radikalen x n anwenden. Um imaginäre Wurzeln einer Gleichungx°" — px“”~ l + qx 2n ~ 2 — rx 2n ~ 3 + etc. =- 0 zu entdecken, gibt erohne Nachweis die Regel S. 18: Man eliminiere v aus den zwei Glei-chungen 2 M« 2 "" 1 — (2 m — 1 )pv 2 ”~ 2 + (2 m — '2)qv 2n ~ 3 — etc. = 0und v 2 ”—p v 2 ”~ x + qv 2n ~ 2 —etc. = W] wenn in der resultierendenGleichung w 2n ~ l — Pw 2n ~ 2 - 1- Qiv 2n ~* — etc. = 0, V, Q, etc. alle positivsind, habe die vorgelegte Gleichung keine reellen Wurzeln. Um dieGrenzen von Wurzeln zu bestimmen, transformiert er die gegebeneGleichung in eine andere, deren Wurzeln die reziproken Wurzel-differenzen 1 /(a — ß), 1 /(« — y), 1 /(« — ä), etc. der vorgelegten Glei-chung sind. Diese Methode wurde später von Lagrange wieder er-funden 2 ).

Waring nimmt Wurzelformen wie

x = Va -\-y — b 2 -f Va — ]/ — b 2

an, und berechnet durch Wegscliatfung der Radikalen die entsprechendeGleichung. Mit einer solchen Auflösungsmethode hatte Euler schon1782 (Bd.III 2 , S.574) experimentiert. Für die Quartic machte Waring dieAnnahme 8 ) x = ^ ß + t y und leitet die kubische Gleichung

zur Bestimmung von u, ß, y ab. Für die Quintic macht er die ganzähnliche Voraussetzung 1 ) x = yä + ]/ß + \/y + \ d und läßt danndie unklare Bemerkung folgen: „Ich habe durch Berechnung gefunden,daß die biquadratische Gleichung, deren Wurzeln «, ß, y, d sind, not-

b Mise, analyt., p. «. *) Lagrange, op. eit., Xote III.

analyt., p. 45 . *) Ebenda, p. 47 .

*) Mise.