Algebra.

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wendig irrationale Größen habe, und daß die vorgelegte Gleichungdurch diese Methode nicht auflösbar ist - ' 1 ). Was sollen irrationaleGrößen hier bedeuten? Waren nach der Ansicht des VerfassersIrrationale anderer Natur als Radikale? Oder gründete er seinenEin wand gegen irrationale Koeffizienten der Quartic auf die schein-bare Unmöglichkeit dieselben zu berechnen? Daß die Auflösung vonGleichungen gewöhnlich auf der Lösung von Ililfsgleichungen höhererGrade beruht, davon hat sich Waring durch seine Beispiele vonGleichungen, welche vorgelegte Wurzelformen haben, überzeugt 2 ).

Waring schlägt aber noch eine andere Wurzelform vor, welcheeinige Jahre später auch Euler und Bezout benutzten. Mit lako-nischer Kürze sagt Waring 8 ): „Aufzulösen x = a *\/p + b Yp 2+ cVp s + dV~p i ...AVp”-* + B\Vp "- 3 + ü Vp"-* + I) Vr~\ Man

rotte die irrationalen Größen aus und erhalte

x” — n x al) -f bC + cB + dA, etc. x "~ 2 -f- etc. = 0.

Daraus kann man die Auflösung kubischer Gleichungen entnehmen.“Letztere Lösung wird durchgeführt.

Im 18. Jahrhundert beschäftigte sich die Pariser Akademie der 0"Wissenschaften dreimal mit der Bestimmung der Anzahl imaginärerGleichungswurzeln. Das erstemal 1743, als de Gua eine Ab-handlung mitteilte; das zweitemal, als Fontaine seine Resultate vor-legte, und das drittemal, als 1772 du Sejour seine Studien veröffent-lichte. Die Untersuchungen von de Gua und die erste Schrift vonFontaine sind schon im dritten Band dieser Geschichte besprochenworden. Eine zweite Arbeit des Fontaine, L’art de resoudre lesequations, wurde 1764 veröffentlicht 1 ). Es ist ein langer Aufsatz,welcher die Methoden seiner ersten Schrift auch auf Gleichungen4. und 5. Grades anzuwenden sucht. Er zählt für quartische Glei-chungen 617 mögliche Fälle auf. Sein Verfahren ist für praktischeZwecke ungeeignet und von theoretischer Seite, wie Lagrange 5 ) her-vorgehoben hat, unbefriedigend.

In einer Abhandlung De functionum algebraicarum integra-runi factoribus trinomialibus realibus commentatio 6 ) nimmtFranz Ulrich Theodor Aepinus ("1724—1802) die Wurzelexistenz 1^stillschweigend an und zeigt, daß, wenn x -J- m + w]/— 1 ein Faktor

*) Van sehe auch Meditationes algebraicae, 178 -J, p. 18g 183. s ) Miscel-lanea analyt., p. 17. *) Ebenda, p. 44. 4 ) Memoires donnes ä l’acad. roy. des

Sciences, non imprimds dans leur temps. Par M. Fontaine, de cette acaddmie,Paris 1704, p. 432—588. b ) De la resol. des equat. num., Note VII. 6 ) NoviComm. acad. Sc. imp. Petropolitanae, Tom. VIII, 1760 et 1761, Petropoli 1763,p. 169—180.