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Abschnitt XX.

von x m + ax m + x + • ■ •, es x + m — n ]/— 1 auch ist. Dabei wählter für m + nY — 1 die trigonometrische Form «(cos<J> + sind>}/— 1),so daß

x" = u * (cos + sin )/— 1).

Durch Substitution des Wertes von x ergibt sich die GleichungF + Q Y — 1 = 0 und F — Q = 0, worauf dann folgt, daß x =«(cos <h — sin <t> Y~ 1) die Relation F — Q ]/— 1 liefert und des-halb eine Wurzel der vorgelegten Gleichung ist.

In der Abhandlung De llesolutione aequationum cuiusvisgradus 1 ) macht L. Euler einen seiner Abhandlung 8 ) von 17152 ähn-lichen Versuch, die allgemeine Auflösung algebraischer Gleichungenzu finden. Wie vor dreißig Jahren, so glaubt er jetzt aus der Tat-sache, daß eine quadratische Gleichung durch die Ausziehung vonQuadratwurzeln, eine kubische Gleichung durch Ausziehung vonQuadrat- und Kubikwurzeln, und eine Gleichung vierten Grades durchAusziehung biquadratiseher Wurzeln gelöst werden kann, annehmenzu dürfen, daß sich die Wurzelform einer Gleichung w ten Gradesdurch Radikale nicht höher als » ter Ordnung ausdrücken lasse.Statt aber, wie 1732, für eine solche (vom zweiten Gliede befreite)Gleichung die Wurzelform von w — 1 Gliedern

x = Yu + Vß + Yr + • • •

anzunehmen, stellt er jetzt einen allgemeineren, gewisse Schwierig-keiten der älteren Form vermeidenden Ausdruck auf,

x = w + A Yv + B Yv 8 + • • • + Q Yv” ~ 1 ,wo w eine rationale Zahl ist, und „A, B, . . ., Q entweder rationaleGrößen oder mindestens keine w' e Wurzel enthalten“. Er hoffe, daßdiese Form allen Anforderungen genüge, da die übrigen Wurzeln da-durch bestimmt sind, daß man für Y v nacheinander alle Werte vonY 1 Y v einsetzt. Die Voraussetzung, daß A, B, . . ., Q im allgemeinenalgebraische Zahlen seien, ist in unserer Zeit als unmöglich anerkannt.Euler zeigt, daß die Wurzeln der Gleichungen der ersten vier Gradesich auf diese Weise ausdrücken lassen. Durch die Tatsache, daßalle damals bekannten, auflösbaren Gleichungen diese Wurzelformbesaßen, ist Euler von der Richtigkeit seiner Annahme überzeugt.„Aus diesen Gründen“, sagt er, „ist die neue Wurzelform zur höchstenWahrscheinlichkeit erhoben.“ Bemerkenswert ist es noch, daß EulersForm in etwas präziserer Fassung die Grundlage des Abelschen Be-

*) N. Comm. Petr., T. IX, pro annis 1762 et 1763, p. 70—98. *) Diese

Vorlesungen, Bd. III, 2. Aufl., S. 574.