Algebra.

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weises der Unmöglichkeit der algebraischen Auflösungen höhererGleichungen bildet 1 ). In der Auflösung der vom zweiten Gliede be-freiten biquadratischen Gleichung setzt Euler x = A Yv + B Y v 2-f ('V 1 ' 3 und findet dann die Gleichung vierten Grades, welche dieseWurzelform hat. Quadriert man beide Seiten von x — B~\/v = ä\ v-f- C y t 3 , so erhält man x 2 — 2 Bx\'v + B 2 v = A 3 ]/t -(- 2 ACv-f- C 2 v Yv oder x 3 + (B 2 — 2 AC)v = 2 Bx~\/~v -(- (A 3 + Uv) ■ Yv.Quadriert man abermals, so erhält man die rationale Gleichung.r 4 = 2 (B 2 + 2 AU) vx 2 + 4 (A 3 + Uv) Bvx + A 4 r - Uv 2 + UV +4 AB 2 Cv 2 - 2 A 2 Uv 2 . Wenn a = Y~ b ~ b c = ~ V~ b dan nsind die drei übrigen Wurzeln dieser Gleichung x = AaYv + BI>Y v 2+ Cc\'v z , x = Ah i''v + IIY v 1 + Cb Yv 3 , x = Ac Yv + Bb f r 3 +CaYv 3 . Ist nun die gegebene Gleichung x l = A'x 2 -\- Bx + U, so kannman die Werte von A, B, C,v durch die Gleichungen A'=2(B 2 + 2AC)v,If = 4 (A 3 + (*i?) Bo, U = (A 3 + Uvfo - (B 2 + 2 AC) V + 8 AB?Co*bestimmen. Setzt man B = 1, so erhält man die kubische Gleichungfür die Bestimmung von v, nämlich,

1 X V- + |((- + J ,r>)» - 6 ‘, ir- _ u.

Die vier Wurzeln gibt Euler in dieser Form:

x = Yv + \ Vir Yv + 2 A' r - 4 t 3 ,

2 V V

x = Y v ~ 1 - V J?Yv + 2 A'v — 4 v 22-|/r

x = - Yv -r - 1 -Y- B' Yv + 2 A'v - 4 v 2 ,

2 y v

x = -Yv-~ V- B’ Yv + 2 A'v - 4 t' 3 .

2 Yv

Euler wendet diese Methode auf die Gleichung fünften Gradesx’ J = A'x 2 B'x 2 + C'x + I)' an. Die angenommene Wurzelforin istnun x --- AYv + B f t 3 + Cf/t 3 + I)Yi A . Das obige Verfahren be-folgend, bildet er vier Gleichungen für die Bestimmung der Wertevon A, B, C, I), v. Die Elimination von A, B, C, I) führt er abernicht durch. Er hätte eine Gleichung des vierundzwanzigsten Gradesin v gefunden. Es folgen nun Bemerkungen, die wir in deutscher

‘) Vgl. J. Pierpont, ,.Zur Geschichte der Gleichung des V. Grades (his1858)“ in Monatsh. f. Math. u. Phys., VI. Jahrg., Wien 1895, S- 23.

Caxtor, Geschichte der Mathematik IV.