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Abschnitt XX.
Übersetzung wiedergeben: „Wenn nun gegenteilig die Größen A, B,C, I), sowie der Buchstabe v, durcli die Koeffizienten Ä, Ii, C, />'bestimmt werden könnten, hätte man die allgemeine Auflösung allerGleichungen fünften Grades. Aber gerade darin liegt die größteSchwierigkeit, da kein Weg offen steht, die Buchstaben A, B, C, D,von welchen zwar einer nach Willkür angenommen werden kann,nacheinander so zu eliminieren, daß eine Gleichung mit einer ein-zigen Unbekannten v und den gegebenen Werten A'BCT)' entstehe,die auch keine überflüssigen Wurzelzeichen einschließe. Wir dürfengewiß vermuten, daß, wenn diese Elimination richtig durchgeführtist, man endlich eine Gleichung vierten Grades erhalten wird, welcheden Wert von v selbst festsetzt. Denn wenn die Gleichung einenhöheren Grad erreichte, dann würde der Wert von v selbst Wurzel-zeichen desselben Grades enthalten, was verstandeswidrig erscheint.“
Auf Spezialfälle übergehend nimmt er 1) C = I) = 0 an und er-hält die auflösbare Gleichung x b = 5 l J x i -j- 5 Qx + + 77, -) B =
1 y
(' = 0 an und erhält die Gleichung x b = 5 Px* — 5 P 2 x f I), derenAuflösung schon früher De Moivre gezeigt hatte, 3) die KoeffizientenA\ B', C, I)' als gewisse rationale Funktionen fünf neuer Größenan und erhält eine Gleichung, deren Wurzeln bekannt sind.
Diese Abhandlung wurde 1785 von Graf Franz Schafgotsch 1 )und 1791 von J. A. C. Michelsen 2 ) in das Deutsch übersetzt. Einmühevoller Versuch Schafgotschs, die von Euler angedeutete Resol-vente zu linden, blieb ohne Erfolg.
Engel ähr zu gleicher Zeit erschien eine andere hervorragendeArbeit, Sur Plusieurs Classes d'Equations de Tousles Degres,qui admettent une solution algebrique 3 ), aus der Feder vonEtienne Bezout . Er geht von der Idee aus, daß alle binomischenGleichungen auflösbar sind. Wenn es deshalb möglich wäre, alleGleichungen in binomische zu transformieren, hätte man das Ziel er-reicht. Er erklärt seine Methode durch kubische Gleichungen undnimmt dann das Studium derjenigen w ,en Grades auf. Es seix s + px* + qx + r = 0 die vorgelegte Gleichung. Man setze y 3 -\-h = 0und (x + b) y = x + a. Letztere Gleichung wird so gewählt, daß dieElimination von y zwischen den zwei letzten eine kubische Gleichunggibt, die mit der vorgelegten verglichen werden kann. Man erhält