99
Algebra.
auf diese Weise p = Sn
3 «* -f 3 h-h
«’ -f b s h
Eliminiert
man /;, dann hat man p (a + b) — 9 ab = q und p (a 2 + ab + b~)
3 ab (a + b)
<ib = ' l . . Es sind nun a und b die zwei Wurzeln der Glei-
/ — 3 ?
hat jetzt y !
und x = “ ^ , woraus sich endlich
»y — 1 7
u — i
x = - yp + l v [(3 « - pf (3 b—p)+ 3 |/ [(3 a-p) (31- pf]
ergibt, Diese Methode verfolgend, sucht er nun die Bedingungendafür, daß die Gleichung « ten Grades sich in eine binomische transfor-
mieren lasse. Er nimmt y" -4- h = 0 und w = x an, und eliminiert
• •' x 4- h ’
X -f- b
y. Er erhält eine Gleichung » ,<>n Grades in x, worin er das zweite
Glied gleich Null setzt und so h = — ” erhält. Alle Koeffizienten
b
der resultierenden Gleichung sind rationale Funktionen von a und b.Es können deshalb die zwei Koeffizienten des dritten und viertenGliedes willkürlich angenommen werden, wonach sich alle übrigenals Funktionen dieser zwei ausdrücken lassen. Dies sind die ge-
o
suchten Bedingungen, ln der Auflösung einer Gleichung n ten Grades,welche diesen Bedingungen entspricht, löse man anfangs eine quadra-tische Gleichung, deren Wurzeln a und b sind. Dann können h undy berechnet werden, sowie x. Die allgemeine algebraische Auflösungvon y" + h = 0 kannte Bezout nicht; er verfolgte die De Moivre -sche trigonometrische Behandlungsweise. Er untersucht daun dieGleichungen, deren Wurzeln die Form x = j/a" ” 1 b -f- '(/a" ~ -Ir, u < 8,haben, und zeigt, daß der irreduktible Fall, wo a und b imaginärsind, für x reelle Werte gibt.
Bezout setzt seine Untersuchungen in einer zweiten Abhand-lung, Sur la resolution generale des equations de tous lesdegres 1 ) fort. Unterdessen ist ihm Eulers Arbeit von 17(12 bekanntgeworden. Sein jetziges Verfahren läßt sich aus seiner Behandlungder biquadratischen Gleichung ersehen. Er setzt y* — 1=0 unday 3 + by~ -f cy + x = ü. Multipliziert man letztere mit y, y-, . . .,erhält man