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Abschnitt XX.

uy 3 -f by- + cy + x = 0,by 3 -f cy~ + xy + n = 0,cy 3 + xy' 1 4- ay 4- b = 0,xy 3 4- + by 4- c = 0,

aus welchen sich durch Elimination von y 3 , y' 2 , y eine Gleichungvierten Grades in x ergibt. Vergleicht man deren Koeffizienten mitp, q, r in X 3 px 3 4- qx 4- r = 0, so hat man die Bestimmungsglei-chungen 4 ac 4- 2 b 3 = — p, 4 u 3 b 4- 4 hc 3 = q, 4~ <4 — h l — 2 a 3 c 24- 4ab 2 c = — r. Sucht man nun a und c zu berechnen, so erhältman eine Gleichung des 24 tcn Grades; sucht man aber zuerst b, dannhat man eine des () lPU Grades, die als eine kubische angesehen werdenkann. Die Werte von x erhalten die Form

x = — a — b — c,

x = 4- — b 4- c,

x = 4- «]/— 1 4 - b — c ]/— 1,

x = — a Y~ i 4- b 4- c ]/— 1.

Wenn der Exponent n eine zusammengesetzte Zahl ist, wird einzweites, etwas kürzeres Verfahren beschrieben. Die Bestimmungs-gleichungen für den Fall n=b findet Bezout abschreckend. „Ob-sclion ich diese letzten Gleichungen auf mehrere Weisen verändertund verschiedene Mittel zur Abkürzung der Elimination gefundenhabe, bin ich doch noch nicht imstande, die Schlußresultate anzu-geben.*' Auch sagt er: „Durch den Vergleich von Eulers Abhand-lung mit der mehligen sieht man, daß, obschon beide Methoden zuden gleichen Resultaten führen, wir voneinander bedeutend abweichenin der Schätzung des Grades der Gleichung, auf welcher die Auf-lösung der vorgelegten Gleichung beruht. Dieser gelehrte Analystglaubt, dieser Grad sei immer niedriger als der der vorgelegten Glei-chung; ich glaube im Gegenteil, er ist immer viel höher, daß aberdie Gleichung keine anderen Schwierigkeiten als jene aller niedrigerenGrade umfaßt.“ Der Grad dieser Resolventen sei n(n — 1) ••• 2 • 1,und der Exponent der Unbekannten jedes Gliedes sei ein Vielfachesvon n. Die Größen a,b,c, ... nennt Bezout coefficiens indeter-mines, ohne eine Meinung zu äußern, ob sie algebraisch seien.

Die Eliminationsmethode, welche heutzutage die Eulersche ge-nannt wird, ist in seiner Schrift Nouvelle methode d’eliminer