Algebra.

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les quantites inconnues des equations 1 ) erklärt. Er zeigt denGedankengang zuerst an den speziellen Gleichungen z 2 + Pz + Q = 0= (z — ic) (z + A) und z 3 + pz 2 + qz + r = 0 = (z — iv) ( z 3 + az + b),wo iv die gemeinsame Wurzel und A, a, b unbestimmte Koeffizientensind. Daraus folgen

(z 1 + Pz + Q) (. z 2 + uz + b) = ( z 3 + pz 2 + qz + r)(z + A),

und die Bestimmungsgleichungen P + a =* p -f- A, Q + Pa -f- b =<j-\-pA, Pb+Qa = qA + r, Qb = rA, welche durch Eliminationvon A, a, b das erwünschte Resultat liefern.

Wilhelm Otto Reitz (1702—1768), ein Lehrer in Rotterdam und Middelburg , veröffentlichte eine Schrift 8 ) über die Auflösung .derQuartik, worin er Kunstgriffe angibt, um Fälle zu lösen, wo durchAddition eines Trinoms a 2 x 2 -\-2 abx + b 2 zu beiden Seiten, die SeitenQuadratformen annehmen können.

Bezouts Untersuchungen über die algebraische Auflösung vonGleichungen führten ihn zu dem Eliminationsproblem. Er fand, daßNewtons Eliminationsmethode, durch Aufsuchung des größten ge-meinschaftlichen Teilers, öfters fremde Lösungen gibt, daß das Ver-fahren von Euler und Gramer, durch symmetrische Funktionen,nur auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auf einmal anwend-bar ist. Im Falle mehrerer Gleichungen müsse man sie paarweisenehmen und die Endgleichung sei höheren Grades als notwendig ist.In einer Abhandlung Sur le degre des equations resultantes del’evanouissement des inconnues 3 ) fängt Bezout mit einemLemma an, um die Resultante von n linearen Gleichungen mit n Un-bekannten zu finden. Sind a, b, c, (/,... die Koeffizienten der erstenGleichung, a, V, c, d',. . . und b", c", iV, . . . diejenigen der zweitenund dritten Gleichung usw., dann bilde man die Permutationen ab,ba und schreibe ab — ba. Mit diesen zwei und c bilde mau allemöglichen Permutationen und beachte einen Zeichenwechsel, wenn cin ab oder ba seine Stelle ändert. Man hat abc — acb + cab — bac+ bca — cba. Auf gleiche Weise verfahre man mit dem Buchstabend und den übrigen Koeffizienten der ersten Gleichung. Setzt manden letzten Ausdruck gleich Null, so hat man die Bedingung, daß dievorgelegten Gleichungen simultan seien. Diese Polynomen sindDeterminanten, die durch eine einfache Regel niedergeschriebenwerden können. Bezout schreitet dann zur Elimination zweier Un-

') Histoire de l'acad. roy. des Sciences, annee 1764, Berlin 1766, p. 91 bis1U4. *) Verhandelingen uitgegeeven door de Hollandsche Maatschappye der

Weetenschappen, te Haarlem , IX Deels III. Stuk 1767, S. 1—43. *) Histoire

de l’acad. roy. des Sciences, annee 1764, Paris 1767, p. 288—338.