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Abschnitt XX.

bekannten aus zwei Gleichungen w ten und ni' teD Grades, indem er dieerste Gleichung mit einem Polynom Xx m ’~--\-■ ■ ■ multi-

pliziert und die zweite mit einem Polynom Maf 1 - 1 + Xx m ~ 2 + • • ■und die Produkte addiert. Der Koeffizient jeder Potenz von x indieser Summe wird nun = 0 gesetzt. Sind z. B. die vorgelegtenGleichungen Ax i + Rx + C = 0, A’x a + Hx +(7 = 0, multipliziertman beziehungsweise mit Mx + X, M'x + X, und läßt die Koef-fizienten von x in der Summe der Produkte verschwinden, dann hatman AM + ÄM = 0, BM + HM' + .+Y + A'X' = 0, CM + CM'+ HX + HX' = 0 ; CX + CX' = 0. Man darf hier den willkür-lichen Koeffizienten M gleich A’ setzen, dann wird M = — A.Diych Elimination von X , X' erhält man einen Ausdruck, den manleichter durch die Formeln obgenannten Lemmas niederschreibenkann. Dies Verfahren läßt sich, wie Bezout erklärt, auf drei odermehrere Gleichungen ausdehnen. Um die Operationen abzukürzen,schlägt er vor, daß man bei den Gleichungen Ax m + lix m ~ 1 + • • •+ T = 0, A'x m ' + Hx” 1 ' -1 + • • • T = 0, im Falle m = m, die erstenacheinander mit A', A’x + H, A'x a + Hx + (7, • • •, und die zweitenacheinander mit A, Ax + B , Ax‘‘ + Bx + C, ■ ■ ■ multipliziere undjedesmal die Differenz der entsprechenden Produkte niederschreibe.Man erhalte auf diese Weise m Gleichungen »i — l*™ Grades. Mansoll dann jede Potenz von x als eine Unbekannte betrachten, unddas Lemma liefere die Bedingung für die simultane Existenz dieserDi Gleichungen. Die Frage, ob die Werte der verschiedenen Potenzenvon x bei der Annahme, daß sie verschiedene Unbekannte vorstelleu.miteinander verträglich seien, wird nicht berührt. Das Endresultaterkennt man als eine symmetrische Determinante. Ist di' < m, daunmultipliziere man die zweite Gleichung mit Ax m ~ m ',Ax m ~ m ' +1 + B"‘~ m ' r .und verfahre wie oben. Der Grad der Resultante wird achtsam unter-sucht und nicht größer als das Produkt der Ordnungsexponenten derzwei Gleichungen gefunden.

In der Schrift Nova criteria radices aequationum imagi-narias dignoscendi 1 ) erklärt Euler , daß die damals aufgestellteuKriterien für imaginäre Wurzeln die Existenz solcher Wurzeln ineiner Gleichung wie x^ + 4a; 3 — 8 x 2 — 24a;+108 = (+ 3 + %x + 18).(ar — Ax + 6) = 0 nicht kund machen. Clairauts Algebra und dieVeröffentlichungen von Waring aus den Jahren 1762 und 1764 warenihm also nicht bekannt. Euler stellt drei Prinzipien auf: Erstens,sind alle Wurzeln einer Gleichung reell, dann hat die Gleichung,deren Wurzeln die Quadrate derjenigen der vorgelegten Gleichung

’) X. Comm. Petr., Tom. XIII, pro anno 176S, Petropoli 1769, p. 89—119.