Algebra.
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sind, lauter positive Wurzeln, und die Zeichen ihrer Koeffizientenwechseln beständig ab. Zweitens, in der Gleichung x" — ax”~ l-f bx"~ s + ■ ■ ■ — 0 mit reellen Wurzeln muß die Summe der Qua-
2 )i
drate der Wurzeldifferenzen positiv sein und folglich a~ > ^_ l b.
Drittens, hat die Gleichung x” ö a;" -1 + bx "~ 2 + • - • = 0 lauterreelle Wurzeln, dann haben die zwei davon abgeleiteten Gleichungenn — l teu Grades auch lauter reelle Wurzeln: nx n ~' + (n — \)ax n ~ 2
-f-(w — 2)bx "~ s -f • • • = 0, ax "~ 1 -f- 2 bx“~~ -+- 3ca:" -3 H-- 0. Den
Nachweis dafür zieht er aus der Kurventheorie. Für die erste be-trachtet er = und für die zweite setzt er erst x = 1 iz. Durch
Wiederholung der Operation fließen aus den zwei Gleichungenn — l ,en Grades drei Gleichungen n — 2 ten Grades und vier Glei-chungen n — 3 ,eu Grades usw., bis man endlich auf quadratische Glei-chungen kommt, deren Wurzeln leicht erkennbar sind. Es ist zubeachten, daß von diesen drei Kriterien keines hinreichend ist, undkeines die Anzahl imaginärer Wurzeln anzeigt, im Falle, daß solchesich vorfinden. Die zwei ersten Prinzipien findet man schon inNewtons Arithmetica universalis.
Das dritte Prinzip Eulers wird auch von J. H. Lambert inseinen Observationssur les equations d’undegrequelconque 1 )hergestellt. Um die Bedingung für die Existenz gleicher Wurzelneiner Gleichung z A + uz 2 + bz + h = 0 zu bestimmen, findet Lam-bert den größten gemeinschaftlichen Teiler zwischen z a + az 2 + bz-j- k und 3 z 2 + 2 a z + b, und setzt den letzten Rest gleich Null. Ineiner zweiten Abhandlung des gleichen Jahres 2 ) bemerkt Lambert,daß Analysten wenig Hoffnung hegen, die allgemeine Auflösungalgebraischer Gleichungen zu erzielen, weshalb es wünschenswert sei,Kunstgriffe für die Auffindung der Wurzeln für Spezialfälle zu ent-decken. Er beschäftigt sich hauptsächlich mit numerischen Glei-chungen. Nach einem seiner Vorschläge bilde man eine zweite Glei-chung, deren Wurzeln die Summe je zweier Wurzeln der vorgelegtenGleichung sind. Diese Hilfsgleichung lasse sich öfters in rationaleFaktoren zerlegen und liefere die erwünschte Lösung.
Francisco de Toschi a Fagnano untersucht in einer Schrift,De infinitarum aequationum resolutione, quarum radicessub eadem forma exhibentur, qua radix cubica, quae dici-
tur Card an i 3 ) Gleichungen, die mit x z -f— j-x H —^ = 0 oder
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