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Abschnitt XX.
f 6 + 2a 2 yt 3 — « 6 = 0 (wo 2x = t — “ t gesetzt ist) verwandt sind.
Statt dieser Gleichnng 6 tcn Grades nehme man t 2n 2a”~ 1 t n y — a 2n= 0, worin n eine ganze oder gebrochene, positive oder negative, jasogar eine irrationale Zahl sein möge. In jedem Falle habe man
1 - n 1 l
2a n x = (— y ±_ ]/y 2 + a 2 ) n — (y + Y)? + a 2 )". Jede Gleichung,die sich auf die Form der obigen 2n‘ rn Grades reduzieren läßt, zeigtWurzeln der Cardanschen Art. Wenn n eine gerade Zahl istund man bei + das untere Zeichen nimmt, sei die Wurzel durch Ima-ginäres verunstaltet; ist aber n imgerade, sei es gleichgültig, welchesZeichen man nimmt. Durch Differentiation der Wurzelform und
Kombination erhält er ~ - -. = + Dann durch Integration
]/** + «’ K-P + a 2und Transformation wird
2 a”- 1 y = (x + Yx 2 + a 2 )“ — (— x + Yx 2 + a 2 )”,eine Gleichung, die die Cardansche Wurzelform besitzt. Indem manfür x t -- einsetzt, gelangt man zur ursprünglichen Gleichung
2 n Um Grades. Dann folgen geometrische Betrachtungen, aus welchenhervorgeht, daß die Konstruktion aller dieser Gleichungen durch dieSeiten rechtwinkliger Dreiecke nach der Cotes’schen Methode fürKubikgleichuugen erzielt werden kann.
Ein durch leichtfaßliche Darstellung für den Unterricht «•eeiif-netes Werk über Gleichungstheorie wurde von Mako unter demTitel De arithmeticis, et geometricis aequationum resolutio-nibus über duo 1770 in Wien veröffentlicht. Paul Mako de Kerek Gede (1724? —1793) war ein ungarischer Jesuit, welcherdurch seine Lehrtätigkeit in Mathematik und Physik an der Theresia-nischen Akademie in Wien Geschmack für die Mathematik erweckte.
Der Pariser Astronom und Physiker Achille Pierre Dionisdu Sejour(1734—1794) veröffentlichte 1 ) einen Beweis, daß x s — px+ 2 = 0 für den irreduktiblen Fall, 4p 3 >272 2 , keine Wurzel vonder Form a + by~ 1 haben kann, und, da D’Alembert gezeigthabe, daß alle imaginären Wurzeln diese Form annehmen, müssenalle drei Wurzeln reell sein. Dieser Gedanke wird in einer Abhand-lung Pour determiner le nombre des racines reelles et desracines imaginaires . . 2 ) weiter entwickelt und auf Gleichungendritten und vierten Grades angewandt. Er setzt voraus, daß jede