Algebra.

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Wurzel sich in der Form a + £»)/— 1 ausdrücken lasse, wo « reellist, h aber diesmal entweder reell oder eine durch j/— 1 nicht teil-bare imaginäre Größe ist. Für x substituiert er « + />]/—1 undbildet aus dem Resultate zwei Gleichungen, wovon die eine aus denmit dem Faktor Y — 1 behafteten Gliedern besteht und die anderealle übrigen Glieder enthält. Erhält nun « in einer dieser Glei-chungen einen willkürlichen Wert, dann läßt sich der korrelative Wertvon b bestimmen. Setzt man diese Werte von a und b in die

andere Gleichung ein, so erhält man Ausdrücke für die Bestimmungder Spezialgleichung desselben Grades, welche x — «—?,]/— 1 alsFaktor enthält. Stellt sich b als eine durch Y —1 nicht teilbareimaginäre Größe heraus, dann ist dieser Faktor imaginär, in anderenFällen ist er reell. Setzt man z. B. in der Gleichung x s -\-px + q = 0den Wert fl + bY — 1 für x, dann erhält man nach obiger Anweisungdie zwei Gleichungen («) a s — 3 ab 2 + ap q = 0, (ß) fr 2 —3a 2 —p = 0.Eliminiert man b 2 , so wird (y) 2 a (4a 2 + p) — q = 0. Der kleinste

Wert, den « 2 in ( ß ) annehmen kann, ist 0. Setzt man in («)

fl = 0 und b = + Yp, so " T i r( l 1 = 0 , und x + ]/— p = 0 ist ein

Faktor der Gleichung. Aus (ß) zieht man b = + Y 3 a 2 + F>; fürWerte von p > — 3 a 2 ist b also immer reell und zwei Wurzeln derKubik sind immer imaginär; b = 0 ist der Grenzwert. Setzt man in

(«) b = 0 und « = + j/ 3 ^ so wird 4^) 3 + 27 q 2 = 0, in welchem Falle

x + j/- ^ = 0. Xun kann b nicht reell sein, wenn y in der Glei-chung ( 1 ) 3a 2j t-p — y = 0 nicht positiv ist. Diese Gleichung, inVerbindung mit («) und (ß), liefert 4 p 2 -f 27 q 2 = Ay (4?/ — 3 p) 2 , worauszu ersehen ist, daß die vorgelegte Gleichung nur dann imaginäreWurzeln haben kann, wenn y positiv, und folglich 4^j 3 + 27 q 2positiv ist. Sejour läßt eine ausführliche Besprechung der Quartikund die geometrische Deutung seiner Resultate folgen. Lagrangedrückte sich über Sejours Verfahren anerkennend aus 1 ), möchteaber dasselbe auf die Quintik übertragen sehen. Dies soll Sejourkurz vor seinem Tode wirklich erzielt haben; die neue Abhandlungsei aber verloren gegangen 2 ).

Die Hauptresultate über Gleichungen in der Miscellanea ana-lytica, 1762, wurden von Waring in etwas veränderter Form in

l ) Lagrange, Oeuvres, T. XIV, p. 71. *) Michaud, Biogr. univ.; La-

place, „Le 9 ons de math. donnees ä l’ecole normale“, Journ. de l’ecole polyt.T. II, Paris 1812, p. 44.