106

Abschnitt XX.

den Meditation es algebraicae, 1770, wiedergegeben. Letzteresist aber ein größeres Werk und enthält vieles, was sieb im erstennicht vorfindet oder dort nur ganz kurz angedeutet ist. Die ein-schlagenden Neuerungen finden sich aber alle schon im erstenW erke.

Er zeigt unter anderem folgende Methode, die Grenzwertevon Wurzeln festzusetzen: Hat (H) x” — px n ~ 1 + etc. = 0 die reellenWurzeln a, ß, y, etc., wo u > ß > y > • • •, dann hat | B)nx n ~ 1 —(« — l)px"~ 2j r etc. = 0 die reellen Wurzeln x, q, a, . . ., welche be-züglich zwischen a und ß, ß und y etc. liegen; auch liegen dieWurzeln von h A + mB = 0, wenn h und m gleiche Zeichen haben,bezüglich zwischen cc und n, ß und q etc.; wenn aber h und mentgegengesetzte Zeichen haben, ist eine Wurzel von hA + ml3 = 0größer als u, während die übrigen bezüglich zwischen u und ß, ound y etc. liegen. Wenn li und m gleichzeichig sind, liegt eineWurzel von /id -(- »i J? = 0 zwischen der kleinsten positiven undNull, und eine andere zwischen der kleinsten negativen und Null vonder Gleichung A = 0. Nun leitet er mehrere Regeln ab, welche an-nähernd die Anzahl imaginärer Wurzeln einer Gleichung angeben 1 ),die aber wegen ihrer komplizierten Natur keine Aufnahme gefundenhaben. Ist die vorgelegte Gleichung 2 j x” — px”~ 1 -j- qx”~ 2 — etc. = 0,so eliminiere man x zwischen derselben und nx"* 1 —(w — llpa;" -2-f etc. = v oder zwischen x n — })x”~ 1 + etc. = v und uz'' -1 — (w — 1)px n ~^ -(- etc. = 0, und man kann aus der Gleichung v” — Av” -1 -fBv n-2 S — 0 immer die genaue Anzahl imaginärer Wurzeln

in einer Kubik, Quartik und Quintik entnehmen, und in einer höherenGleichung entscheiden, ob sich imaginäre Wurzeln vorfinden. Dasletzte Glied entscheidet ferner, oh die Anzahl solcher Wurzeln 2, 6,10 etc. oder 0, 2, 8 etc. ist. Um Descartes ’ Zeichenregel nachzu-weisen, wird hervorgehoben, daß bei Multiplikation des Polynomsdurch (x — a) die Anzahl der Zeichenwechsel um 1 oder 3 oder 5 etc.vermehrt wird. Die Diskussion komplexer Wurzeln nimmt 80 Seitenvon Warings Quarto-Werke ein.

Es wird 3 ) eine Methode vorgeführt, Annäherungen zu imaginärenWurzeln zu finden. Ist a + bY— 1 ein Näherungswert, so kannman größere Genauigkeit durch die Substitution von x = a + d -f(b + V ) y~ i

in die vorgelegte Gleichung und die Festsetzung derbeiden Werte, a und b', durch Auflösung der erfolgten Bestimmungs-gleichungen erlangen. Dann wird ein Verfahren skizziert, um aus

*) Meditationes algeb., ed. tertia, 1782, p. 68, Problem IX ff. *) Ebenda,p. 87, Problem XIII, XIV. *) Ebenda, p. 268.