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Abschnitt XX.

nach Tschivn hausen zu lösen, setzt man x? + 1 (ix? -2 + • • •

-)-(/ = 0, worin /', g, . . . unbestimmte Koeffizienten sind, und erhälty" + A y" ~ 1 + Ry" ~ 3 + Cy" ~ s +■••== 0, wo A, ß, C\. . . rationale,ganze Funktionen von f,g,... sind. Man darf A — ß= ('—■■■= 0setzen, sodaß ?/"+ F=0. Ist u zusammengesetzt und = rw, so erhält man

im allgemeinen eine Resolveute des Grades

y (* + i) ( v + -) ■ • ■ (g — D

Wenn g prim ist, ist sie des Grades 1 . 2.3 • • • (g — 1), kann aberimmer in 1 . 2.3 ■ • • (g — 2) Gleichungen g — l ten Grades, mit Hilfeeiner Gleichung l . 2 . iS ■ • • (g — 2) ,01 ‘ Grades, zerleg! werden. Fürg = 5 ist der Grad letzterer Gleichung 6; für g = 7 ist er 120.Wie hoch aber auch der Grad 1 . 2.3 • • • (g — 2) sein mag, bietetihre Lösung keine Schwierigkeiten dar, die man nicht zugleich inder vorgelegten Gleichung g ,< ‘ n Grades findet, denn die g—2-Wurzelnsind bekannte Funktionen der g Wurzeln x, x", x" . . ., und deshalbnicht unabhängig voneinander, sondern durch g — 2—g Beziehungenmiteinander verbunden. Resolventen der gleichen Grade ergeben sichim allgemeinen aus Eulers und Bezouts Methoden. Eine zweiteAuflösunsrsmethode von Bezout wird untersucht. Dieselbe liefertfür die Gleichung ö"' 1 Grades eine Resolvente des 10“' n Grades, die,Bezouts Vermutung zuwider, nicht in zwei Gleichungen zerlegtwerden kann.

Mit diesen kurzgefaßten Auseinandersetzungen des dritten Teilsder Lagrangeschen Schrift schreiten wir zum letzten Teil, wo erzeigt, daß alle bekannten Auflösungsmethoden sich auf das gleicheallgemeine Prinzip reduzieren lassen. Dieses besteht darin, Funktionender Wurzeln der vorgelegten Gleichung zu finden, solcherart, daß1) die Gleichung oder Gleichungen, von denen diese Funktionen dieWurzeln sind, von niedrigerem Grade als dem der vorgelegten sind,oder wenigstens in solche zerlegt werden können, 2) man die ge-suchten Wurzeln auf bequeme Weise herleiten kann. Die Auf-lösungskunst besteht also in der Entdeckung solcher Funktionen. Istes möglich, für g > 4 solche Funktionen zu finden? Dies sei imallgemeinen sehr schwer zu beantworten. 1 ür n < 5 sei x -f- yx_j_ y^x" -p ... -f y“- 1 x ( - u '> die allgemeine Form der einfachsten Funktionder Wurzeln x', x", . . ., wo y eine imaginäre u te Eiuheitswurzel ist.Da für n ^ 5 diese Funktion nicht zum Ziele führt, müsse die Auf-lösung durch neue Funktionen erfolgen, wenn sie überhaupt möglichsei. Bisher habe er solche Funktionen nur a posteriori gesucht,nun wolle er zeigen, wie rationale Funktionen a priori zu findenseien.

Sind (§ 95) x, x", x", ... die Wurzeln der vorgelegten Glei-