Algebra.

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chung, / rationale Funktionen dieser Wurzeln, und nimmt man im allgemeinen das Produkt von so vielen Faktoren

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als Versetzungen unter den Wurzeln x, x", . . . möglich sind, näm-lich w = u Faktoren, so ist u die Anzahl Wurzeln von einer irredu-ziblen Gleichung (-) = i 1 '' — 1 + Xt'’’~- — • • • = 0, wo J/ die

Summe aller Funktionen, JV die Summe aller Produkte je zweierFunktionen etc. darstellt. Es folgt, daß M, X, . . . rationale Funktionender Koeffizienten sind, welche, wie schon Gramer und Waring gezeigthatten, direkt berechnet werden können. Wenn nicht jede Permutationungleichförmige Funktionen liefert, und man gleiche Funktionen aus-schließt, stellt sich 0 == 0 von niederem Grade heraus. Es ergibtsich das Resultat 99 1 , daß 1) alle gleichartigen Funktionen vonx, x", . . . ( nämlich Funktionen von denselben Wurzeln, die bei einergewissen Permutation sich gleichzeitig ändern oder sich nicht ändern)durch Gleichungen von gleichem Grade bestimmt sind; 2) daßdieser Grad der Anzahl verschiedener Werte der Funktion gleich istund immer ,u oder ein Teiler von p ist, 3) daß diese Funktionen be-rechnet werden können. Eine solche Funktion kann rational durcheine gleich artige Funktion ausgedrückt werden. Hat man zweirationale Funktionen, y und t, solcher Art, daß sich t für jede Wurzel-permutation verändert, welche zugleich in y eine Variation hervor-bringt, dann läßt sich y rational durch t und den Koeffizienten dervorgelegten Gleichung ausdrücken. Lagrange erkennt diesen Lehr-satz als einen der wichtigsten in der Gleichungstheorie (§ 100).bl Jahre später erhielt dieser Satz eine allgemeinere Formulierungdurch Evariste Galois. Die Eigenschaften dieser rationalen Funk-tionen werden durch die Kombinationsrechnung („ealcul des combi-naisons“) untersucht. Man findet darin die Keime der großen Sub-stitutionstheorie. Lagrange sagt (§ 109): „Dies sind, wenn ichnicht irre, die wahren Gründe von der Auflösung der Gleichungen,und der eigentliche Weg, welcher uns dahin führen kann.“ In derVorrede des dritten Abschnitts sagt er: „Aus diesen Betrachtungenerhellet, daß es äußerst zweifelhaft ist, ob die Methoden, von welchenwir geredet haben, zu einer vollständigen Auflösung der Gleichungenvom fünften Grade, und noch viel mehr der höheren Grade führenkönnen.“

Kurz nach Lagranges Abhandlung erschien eine andere wich-

Caxtor, Geschichte der Mathematik IV. 8