Abschnitt XX.

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tige Arbeit, Memoire sur la resolution des equations 1 )von Alexandre Theophile Vandermonde (1735—179G) 2 ), einemMitglied der Pariser Akademie der Wissenschaften und seit 1782Direktor des Conservatoire pour les arts-et-metiers. Die Unter-suchungen von Waring, Lagrange, Marguerie (S. 118), Condorcet wurden ihm erst nach der Einreichung seines Memoires bekannt.Vandermonde hebt hervor, daß die wesentliche Bedingung für dieallgemeine Auflösung der Gleichungen darin bestehe, eine Funktionder Summe der Wurzeln, der Summe der Produkte je zweier ihrerWurzeln, der Summe der Produkte je dreier ihrer Wurzeln etc. zulinden, die gegen irgendwelche Wurzel indifferent sei. Diese Unter-suchung zerfalle in drei Teile: 1) eine Funktion der Wurzelu zufinden, die solchen dieser Wurzeln, die man wünscht, gleich sei,

2 ) dieser Funktion eine Form zu geben, daß sie auch der Vertau-schung der Wurzeln unter sich indifferent sei, 3) darin die Werteder Summe der Wurzeln, der Summe der Produkte je zweier ihrerWurzeln etc. einzusetzen. Er fängt mit 3) an und berechnet Tafeln, diedie Werte symmetrischer Funktionen, durch die Gleichungskoeffizientenausgedrückt, angeben. Eine Funktion der in 1) verlangten Art ist

“ [« -f & + c -f etc. + y(a + >\ b + r t c-\ - )"

+ FW + + >2 2 c + •■•)'+••• + Via + + r./'-'c + ■ ••)"],

die a, b oder c etc. indifferent gleich ist, wo a, b, c, . . . die Wurzelnder gegebenen Gleichung und 1, r,, r 2 , r s , . . . die »P cn Einheits-wurzeln sind. Ist n = 3, hat man

« = 3 [(/« + b -f- c) + (« + r,b -f- r 2 c) + (« + >\ 2 b + r ä 3 cj],

b = -g- [(« + b -)- c) + r 2 (a r 2 c) + r 2 2 (n + r t 2 b -j- r., 2 c) ],

c = -f- b e) -(- /q (a -f- )\b r 2 c ) + /q 3 (a + r^b + r 2 3 c)J.

Ferner (a + >\b + r 2 e) 3 = a 6 -f- b s + c 3 -f 6 ahc -f 3r, (a 3 b + b 3 c -f- c 2 a )

+ 3 r 2 ( a 2 c + b 2 ci + c 2 b), welcher Ausdruck nun leicht als eine Funktionder Koeffizienten der vorgelegten Gleichung ausgedrückt werden kann.Desgleichen für (a + r*b + r^c) 3 . Auf diese Weise folgt nun dieAuflösung. Vandermonde sucht nun seine Methode auf die Quinticund höhere Gleichungen anzuwenden. Hier stößt er aut Schwierig-

*) Histoire de l’acad. roy. des Sciences, annee 1771, Paris 1774, p. 305 bis416. s ) Uber Vandermondes Vornamen sehe man H. Simon in Zeitschi',f. Math. u. Physik, 41. Jahrg, Hist.-Lit. Abth.