Algebra.

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keiten, die obige Bedingung 2) zu erfüllen. Er schließt, daß dieAuflösung der Quintic sich auf die einer Gleichung sechsten Gradesstütze, deren Koeffizienten rationale Funktionen derjenigen der vor-gelegten Gleichung seien. Für die Gleichung sechsten Grades ent-deckt er Resolventen 10. und 15. Grades. Man substituiere in denletzten die obgenannten Funktionen. Wenn diese Gleichungen sichdann nicht auf solche vierten oder niedrigeren Grades reduzierenlassen, suche man die Resolventen der Gleichungen 10. und 15. Gradesauf etc. Sei die allgemeine Quintic überhaupt lösbar, dann kommeman endlich zum Ziele. Für die Quintic entdeckte er auch eineResolvente fünften Grades. Er hat keine der angeführten Resolventenwirklich berechnet. Er ist der erste, der eine algebraische Lösungfür x 11 — 1=0 angab.

In der Vandermondesehen, sowie in einigen Teilen der voran-gehenden Lagrangeschen Abhandlung findet man eine Auflösungs-methode, welche den Xamen Kombinationsmethode erhalten hat 1 ).Die älteren Verfahrungsarten von Tartaglia, Tschirnliausen,Waring, Bezout werden zum Unterschiede Substitutionsmethodengenannt. Auch Lagrange hat diese gebraucht. In ersterer werdena priori eine oder mehrere einfache Kombinationen der Wurzeln an-genommen und Resolventen zur Bestimmung dieser Kombinationenabgeleitet, Vandermondes Annahme dient als Beispiel. In derSubstitutionsmethode substituiert man für x eine Funktion von eineroder mehreren neuen Unbekannten, die zu Resolventen mit möglichsteinfachen Wurzelformen führen. Als Beispiel solcher Funktionenführen wir die Wurzelformen von Euler , Waring, Bezout undLagrange und die Cardansche Annahme für kubische Gleichungen,x = y + s, oder die Tschirnhausensche, y = a -f- hx cx 2 , an.

Die Xewtonsche Formel für die Potenzsummen der Wurzelnwird von Kästner in einer 1757 verfaßten, aber erst 1771 gedrucktenSchrift 2 ) nach der Methode der vollständigen Induktion bewiesen. Dieunvollständige Induktion sei in der Mathematik zu meiden. Auch inseinen Anfangsgründeu der Algebra, § 31(5, klagt Kästner, daßviele Schriftsteller Gesetze allgemein annehmen, welche nur bei be-sonderen Fällen als richtig erwiesen sind, wie z. B. beim binomischenLehrsatz. Es werde berichtet, „Reyneau habe Harriots Lehrsatzaus seiner Analyse demontree weggelassen, weil er die Regeln derAlgebra demonstriren wollte“. „Ich hatte eben so viel Eifer dieRegeln zu demonstriren, als Reyneau kann gehabt haben, und in

*) L. Matthiesseu, op. cit., p. 238, 789. s ) Dissertationes rnath. et pliys.quas soc. reg. scient, Gottingensi annis 1756—1766 etc,, Altenburgi 1771, p. 1 — 8.

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