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Abschnitt XX.

der That wäre es eine Schande für einen Deutschen , wenn er da nichtdemonstriren wollte, wo selbst ein Franzose dieses unternimmt.“ DieFranzosen seien von der Euklidischen Beweisschärfe almewichen, umLeuten das Studium der Mathematik zu erleichtern.

An eine Arbeit von Gabriele Manfredi aukinipfend, gabGianfrancesco Malfatti in einem bedeutenden Artikel, De aequa-tionibus quadrato-cubicis disquisitio analytica 1 ) die Lösungenquadratischer, kubischer und biquadratisclier Gleichungen, und über-trägt dann seine Methode auf Gleichungen fünften Grades. DerArbeiten von Waring und Bezout tut er keine Erwähnung.Wie Euler und Bezout nimmt er als Wurzelform der Gleichungx b — oax 3 + bbx 2 + 5 cx + d = 0

x + m Vt % + P Vf 3 + 1 Vt' s + n Vf = G,

wo /'= 1 genommen wird, und erhält

.r 5 — 5 (mn + pq)x 3 + 5 (nrq + n 2 p nip 2 -j- nq ä ) x 2

— 5 (m 3 p n 3 q + »iq 3 + np 3 — nrn 2 + nmpq — p 2 q 2 )x + m 5 -f « 5

-f- p 3 -f- q : ' -f- 5 ini n — pq) (mp- 4- nq ' — nrq — irp) = 0.

Malfatti setzt mn = y, pq = u, nrq + n*p = r, mp i -\-nq- = t.Zur weiteren Abkürzung schreiben wir m 3 p -f- n 3 q = v und mq 3-f- np 3 — iv. Malfatti erhält nun uv = rt — yw, vic = r 2 u -j- t 2 y

— 4 iry 2 , und aus diesen letzten 2 uv = rt -f- s, 2yw = rt — s, wo*■ = ] /r 2 t 2 — 4 r 2 iry — 4 t 2 uy 2 16 it 3 y 3 . Dann wird vr = (m 3 n 6 )ti+ y-t, wt = (j) b -f- q b )y -f irr. Durch Elimination von v und wfolgen 2ir(m 3 + m 5 ) = (rt + s) r — 2tuy 2 und 2 y 2 (j) 3 + q 5 ) = rt 2

— 2ru 2 y — ts. Durch Vergleichung der Koeffizienten der vorgelegtenund der derivierten Gleichung hat man

y + u = a, r + t = b,— rt(y -f- «) -f- (« — y) s

2uy

T ir — UlJ T ir = C,

r 2 ty 2 4" rt-u ! — 2 ty*u — 2 ryu 4 -f- (ry 2 — ttt*)s2 u’-y-

+ 5 (y — u)(t — r) = d.

Die dritte Relation gibt s (m — y) = rt (y + u ) — 2 uy 3 + 2 u 2 y 2 — 2 u 3 y+ 2 cmy. Setzt man hierin t = b — r und quadriert, so erhält man

') Atti dell’ Accademia delle Scienze di Siena detta de - Fisio-critici,L'anno 1771, T. IV, p. 129—1S4.