Algebra. 119

Waring, de Marguerie, Lagrange und Vandermonde machte.Er geht von der unsicheren Annahme aus, daß die Wurzeln einerGleichung « ,eu Grades ganze algebraische Funktionen ihrerKoeffizienten sein müssen und keine Radikale höherer als n ter Ord-nung zulassen. Er nimmt dann die ältere Eulersche Wurzelformx=VA + VB + VC + -- • an, bespricht den Grad und die Reduk-tibilität der Gleichung für die Bestimmung von A und zieht denSchluß, „daß die Methode für die Auflösung der Gleichungen 2., 3.,4. Grades sich auf höhere Grade ausdehnen lasse und daß die Schwie-rigkeit, welche von der Höhe der Gleichung oder der Wurzelformentspringt, nur die ungeheure Komplikation der Berechnung betreffe,welche dann die Auflösung der Aufgabe erfordere; daß man aberimmer zur gesuchten Lösung gelange“. Condorcet veröffentlicht imgleichen Bande 1 ) Nouvelles recherches, worin er seine Ideenweiter entwickelt und sie soweit modifiziert, daß er die Existenz un-lösbarer Gleichungen nicht als unmöglich, wohl aber als unwahr-scheinlich erklärt. Wenn eine Gleichung keine allgemeine und end-liche Wurzelform besitze, werde man dieses dadurch herausfinden, daßman in den von ihm vorgeschlagenen Operationen auf eine andereGleichung n tm Grades geführt werde, die keine rationalen Divisorenenthalte, wenn n eine Primzahl ist; oder wenn n nicht prim ist,daß man auf eine Gleichung komme nicht niedrigeren Grades als(« — 2) (w — 3) . . . 3.2 . 1. Diese Ideen werden von ihm auch imArtikel „Equations Determinees “ in der Encyclopedie methodique(Mathematiques) erklärt.

ln der Abhandlung Sur la forme des racines imaginairesdes equations 2 ) gibt Lagrange einen Beweis des Satzes, daß jedeimaginäre Wurzel einer Gleichung auf die Form A -f- 7?}/— 1 ge-bracht werden kann. Nachdem er D’Alemberts auf der Kurven-theorie beruhenden Nachweis (1746), Eulers Nachweis (1749) undde Foncenex’ (1759), über welchen im XXI. Abschnitte be-richtet werden wird, kurz besprochen und ihre Schwächen aufge-deckt hat, schreitet er zur Ausfüllung der Lücken in Eulers Be-weise. Lagrange nimmt im aUgemeiiien die Wurzelexistenz ohneBeweis an. Auch wird als bewiesen vorausgesetzt, daß jede Gleichungvon ungeradem Grade und mit reellen Koeffizienten wenigstens einereelle Wurzel habe. Er erklärt, daß das Eulersche Verfahren, umeine Funktion f(x) vom Grade 2 m, m > 1, in zwei reelle Faktoren

*) Melanges de Phil, et de Math, de la Soc. Roy. de Turin, pour les annees1770—1773, Classe Math., p. 236—264. *) N. memoires de l’acad. roy. de*

Sciences, ann£e 1772, Berlin 1774, p. 222—258 = Lagrange, Oeuvres, T. III,p. 479—516.