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Abschnitt XX.

zu zerlegen, nicht immer zum Ziele führt, da dasselbe aufFormeln für die Bestimmung der Koeffizienten führt, die in gewissen

Fällen unbestimmt, ^j, sind. Es gelingt Lagrange, diesen Einwurf

gegen die Methode Eulers und de Foncenex’ zu beseitigen, indemer hier seine in den Reflexions sur la resolution des equations,Sektion IV, n. 100, entwickelte Permutationstheorie anwendet, welcheden Wert einer rationalen Funktion y der Wurzeln zu berechnenlehrt, sobald man den Wert einer anderen Funktion t kennt, solcher-art, daß t für alle Permutationen sich ändert, wofür sich i/ ändert.Gauß äußerte sich anerkennend über diese Arbeit. Der große La-grange habe die Sache „so tief durchforscht, daß nichts Weiteres zuwünschen bleibt; abgesehen davon, daß vielleicht bei seiner voraus-gehenden Behandlung der Eliminationstheorie, auf welche sich diegesammte Untersuchung stützt, einige zweifelhafte Punkte Zurück-bleiben“ 1 ).

De Foncenex’ Beweis wird von Louis Bertrand in Schutzgenommen 2 ). Bertrand behauptet, daß das Verfahren des Verfassersnur in sehr seltenen Fällen mißlinge. In diesen könne man eineGleichung, deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeln der vorgele<rtenGleichung seien, als Hilfsgleichung ableiten, welche zum Ziele führe.Diese Aussage wird nur für die Quartic bewiesen. Wenn LagrangesEinwurf gegen ar 4 — Ax 3 + Bx 2 — Cx + D = 0 gelte, gelte er ge^enx- 4 - (A- - 2 B) x 3 + (B- — 2AC + 2 1)) x 2 - (C 2 - 2BD) x + B- = Onicht. Da nun die Quadratwurzeln einer Größe « + &]/—1 von dergleichen Form wie dieselbe sind, sei der Satz für die Quartic bewiesen.Auch bei Bertrand wird die Wurzelexistenz ohne weiteres voraus-gesetzt.

In einer Schrift, Sur des irrationnelies de differens ordresavec une application au cercle 3 ), entwickelt Vandermonde eineneue Darstellungsweise der Irrationalen, indem er eine Verallgemeine-rung des Symbols p" = p . p . p . . . (n Faktoren') annimmt, worin diezweiten statt der ersten Differenzen der Faktoren Null sind. Erschreibt \p\" = p(p — 1) (p — 2) . . . (p — n + 1) und entwickelt dieOperationsregeln dafür. Er findet

[p -f m + ti\ n \pY" = | p + m + = 1 -f [w] 1

+ + • ■ - ,

*) C. F. Gauß, „Neuer Beweis des Satzes . . § 12 in Ostwalds Klassiker.

Nr. 14. *) L. Bertrand, Developpement nouveau de la partie elementaire des

math^matiques, T. II, ä Geneve, 1778, p. 499. ®) Histoire de l’acaddmie royale

des Sciences, annee 1772, Premiere Partie, Paris 1775, p. 489—498.