Algebra.

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wo [ p | "' = 1 :[p + »«]"* * ist, und nimmt ohne weiteres an, daß dieseAusdrücke sich für Bruch werte von m und n bewähren. In derFormel [q\”[p J~"= [q + + r]~". |/)]-'':b + ~ n Y r

läßt er r unendlich werden und erhält dadurch das unendliche Produkt

\qY\p\~” = [/>!"* [7J-* : \p + «]-* \q - «T*

= (> + «+11 (q — n + 1) (p + n + 2)(q — n + 2) . . .

: (p + 1) (q + 1) (p + 2) (q + 2) . . .

Die Anwendung seiner Resultate auf den Kreis ergibt die Ausdrücke

:r rll-r 1 1~- 2.2.4.4.6.6... . n r- r 1 iv •

•2 = LTJ L~ Tj = 1.3.3.5.5.7 ... llnd 1 - T = 2 L 2 J ’ D ‘ 6 11Tat, °-naleu Formen zweiterOrdnung \q\"\ p\~” lassen sich, wiegezeigt wird.öfters

auf rationale Zahlen oder auf einfachere irrationale Größen reduzieren.

[I ]*[-\f - v*. *******

schiedenen Irrationalitätsarten werden aber nicht entwickelt.

In den Nova acta eruditorum gibt Fagnano eine Demon-stratio theorematis Studeniani pro reductione aequationum,quae radices habent aequales 1 ). Der Satz heißt: Wenn die Gliedereiner Gleichung, deren in Wurzeln einander gleich sind, mit denGliedern irgendwelcher arithmetischen Progresssion je multipliziertwerden, behält die neue Gleichung in — 1 der gleichen Wurzeln bei.Fagnano beweist zuerst den Satz für Gleichungen mit lauter gleichenM urzeln. Werden die Glieder von (x -f- a) n = 0 mit den entsprechen-den Gliedern von p, p + q, p + 2 q, . . . multipliziert, erhält mani p [x -(- a\ + nqa) (oc + «) n-1 = 0. Dieses Resultat wird nun auf

(h + cx -F dx i H-) (x a) n = b (x + <i) n + cx (x 4- a)" • ■ • angewandt

wo die Glieder von b(oc + a) n , cx(x + a)”, ■ ■ • mit den entsprechendenGliedern von je p, p + q,. . p + q, p + 2 q, . . ., multipliziert werden.

Nun folgt die Abhandlung Van dermondes, Memoire sur l’elimi-liation 2 ), worin er für n Gleichungen ersten Grades eine Eliminations-formel von sehr gedrängter Form entwickelt und seine Schreibart aufElimination zwischen zwei Gleichungen höherer Grade anwendet; sie isteine für die Determinantentheorie besonders wichtige Schrift. Vander-raonde erfindet eine Bezeichnung, welche mit der später von Svl-

’) Nova acta eruditorum, 1776, p. 1—IX. „Studeniani“ sollte „Hudeniani“heißen. Man findet Huddes Satz in der Ausgabe der Descartesschen Schrift(ieometria ä Renato des Cartes, Amsterdam 1659 (welche auch Arbeiten vonHudde und anderen niederländischen Mathematikern enthält), S. 435.

*) Histoire de l’acad. roy. des Sciences, annee 1772, II. Partie, Paris 1776, p. 516bis 532. Vgl. Thomas Muir , op. cit., S. 15—23.