Algebra.
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+ a ■ ß • a ■ b> e ^ c - e ' n ? voraus sich Transformatioiisformeln dieser Art
<t\a-b ß = ab aß — aß ab ergeben. Die Eliminanten für dieFälle tu = 2, 3, 4 werden niedergeschrieben. Für n = 3 erhält er
M 1 • 1 4 l ! I 1 I 4 • 2 I ^
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Bei der Ableitung einer ähnlichen Form der Eliminante für den Fallm = 5 stößt er auf Schwierigkeiten, die sich in der Reduktion derEliminante auf die kleinste Anzahl Glieder zeigen. Nachdem der Aus-druck so weit entwickelt ist. daß derselbe in Faktoren der Forma\b umgesetzt ist, sucht Vandermonde Vereinfachungen durch eineFormel des Fontaine, welche in Vanderraondes Schreibweise
a b ■ c d — a c ■ b d + a d ■ b\c =0
lautet, zu erzielen, ohne aber das Ziel völlig zu erreichen. Das End-resultat sollte auf 120 Glieder reduziert werden, bevor es in die Form,welche denen für die Fälle m = 2, 3, 4 analog ist, gesetzt werdenkann. Vandermonde erhält 124 Glieder und bemerkt, daß, nacheiner persönlichen Mitteilung, de Gua durch ein anderes Verfahrenauf die gleiche Anzahl gestoßen sei.
Im gleichen Bande tindet man eine Abhandlung von Laplace 1 ),Heclierches sur le calcul integral et sur le Systeme dumonde, worin die Determinantentheorie berührt wird. Der Nameresultant wird hier zum erstenmal für das Resultat der Eliminationbei n linearen homogenen Gleichungen gebraucht. Er schreibt dafürdas Symbol Du . ~b . 3 c). Der Lehrsatz über den Zeichen wechsel, durchdie Transposition zweier Buchstaben hervorgerufen, wird hier aufbefriedigendere Weise als hei Vandermonde bewiesen. Simultanelineare Gleichungen werden nach dem jetzt gebräuchlichen Verfahrengelöst. Um die Berechnung der Resultante zu vereinfachen, führt ereine Methode ein, die wir in Spezialfüllen schon bei Vandermondevorfanden, und die nun als die Laplacesche Entwicklung von Determi-nanten bekannt ist. Die Regel für diese Entwicklung wird aber nichtin einer Form ausgesprochen, daß sie auf andere Fälle leicht an-gewendet werden könnte.
Beiläufige, isolierte Resultate über Determinanten hat Lagrange
‘) Hist, de l’acad. roy. des Sciences, annee 1772, 2* pt., Paris 1770, p. (267bis 37G), 294—304. Vgl. T. Muir, op. cit., p. 23—33.