124

Abschnitt XX.

in zwei Abhandlungen des .Jahres 1773 gegeben. In der ersten,Nouveile solution du probleme du mouvement de rotation etc. 1 'sind fünf Identitäten, die wir jetzt als Beispiele der Multiplikationund Addition von Determinanten ansehen. Andere Identitäten fin-den sich in der zweiten Abhandlung, Solutions analytiques dequelques problemes sur les pyramides triangulaires 2 ).

\ : on einer Mitteilung Condorcets angeregt, untersuchte Euler in einem Artikel De formulis exponentialibus replicatis 3 4 ) dieGrenzwerte der Zahlen «, ß, y, . . ., wo ß = r", y = r?, . . . Damitdiese Größen nicht ins Unendliche wachsen, muß ein Glied, welchesdie Grenze berührt hat (attigerit), dem nächstfolgenden gleich sein,

1

d. h. r''’ = to, oder r = io"'. Wenn log tu = 1, erreicht r sein Maximumi i

e e = 1,4447 ... Ist 1 < r < c e , gibt es zwei Größen O und Y,welche die Bedingungen r ip = 0, r'f' Y erfüllen. Setzt man Y = p<t>,

i p

dann wird 0=p p_1 , Y=p p_l . Man kann also p beliebig wählen

und die zugehörigen Werte von 0, Y, r finden. Wenn »•>•«', könnennur imaginäre Zahlen die Bedingung r"’ = co erfüllen. Der Fall r < 1wird auch untersucht.

In einem Artikel, Öbservations ou the liinits of algebraicalequations ; and a general demonstration of Des Cartes sRule . . .*) hebt Isaac Milner (1750—1820), „fellow“ an Queen’sCollege in Cambridge , hervor, daß der Satz in Maelaurins Algebra,demzufolge die Wurzeln der Gleichung (B)

(l + nm) x" — (7 + {ti — 11 + (l + {n — 2} m)qx "~ 2 -= 0

als Grenzen zwischen den Wurzeln der Gleichung (A) x n + px" ~ 1+ qx”~ 2 — • • • = 0 liegen, nicht allgemein richtig sei. Z. B. die Wur-zeln 2 + ]/l3 von ,? -2 — 4x — 9 = 0 liegen nicht zwischen den Wur-zeln 3 und — 1 der Gleichung x 2 — 2 x — 3 = 0. Der Satz geltenur, wenn alle Wurzeln gleiche Zeichen haben, was Maclau rin nichtdeutlich hervorgehoben habe 5 ). Milner habe 1775 auch Waringmitgeteilt, daß der Maclaurinsche Satz, daß die Wurzeln von (C)

nx”~ l — (h — l)jO;r" -2 + (n — 2)qx ”~*-= 0 Grenzen der Wurzeln

von( A) seien, einerEinschränkung bedürfe, da es möglich sei,daß keine derWurzeln von (C) zwischen der kleinsten positiven und der größten nega-

') X. mem. de l'acad. roj. des Sciences, ann^e 1773, Berlin 1775, p. 85 bis1‘20 = Lagrange, Oeuvres, T. III. p. 579—Glij. *) Ebenda, p. 119—17(1 =

Oeuvres T. III, p. G61—G92. Vgl. T. Muir, op. cit. p. 33—41. *) Acta acad.

scient. imp. Petropolitanae, pro anno 1777, Pars 1, Petropoli 1778, p. 38—GO.

4 ) Philos. Trans., Vol. 68, for the year 1778, London 1779, p. 380—388. 5 ) Vide

Maclaurin in Phil. Trans. iLondon' Vol. 36, auch seine Algebra, Art. 44,45—50.