tiven Wurzel von (A) liegen. Denn setze man diese zwei Wurzelnin (C) ein, so möge das Polynom (C) Werte gleichen Zeichens er-halten, weshalb keine Wurzel von (C ) zwischen den zwei Wurzelnvon (A) liegen würde. Daß ein solcher Fall wirklich eintreten kann,ist natürlich nicht bewiesen.

Miln er gibt folgenden Beweis der Descartesscben Zeichen- n)regel. Sind alle Wurzeln von (D'l 1 mx nx 2 +•••-)- x” = 0 reell,

dann sind diejenigen von (E) m -j- 2nx + • • • nx K ~ 1 = 0 Grenzen derWurzeln von (D). Es sind deshalb nicht weniger -(--Wurzeln in (D)als in (E), denn da jede Wurzel von (E) zwischen verschiedenenWurzeln von (_D) liegt, kann die Anzahl positiver Wurzeln nichtkleiner sein. Sind I und m beide positiv, muß die Anzahl -(--Wur-zeln in (D) und (E) gerade sein, und die Anzahl in i D) kann alsodie in (E ) nicht durch die Einheit übersteigen. (D) hat aber eineWurzel mehr als (E), welche gewiß — sein muß. Ähnlich behandelter den Fall, wo 1 und nt beide negative, und den Fall, wo dieseentgegengesetzte Zeichen haben.

In der Abhandlung Sur la determination du nombre desracines imaginaires dans les equations literales 1 ) entwickeltLagrange anfangs die bekannten Kriteria für die Bestimmung derNatur der Wurzeln von x 3 — Bx + (' = 0; alle Wurzeln sind reell,wenn 4 jG 3 > 21 (?• zwei sind einander gleich, wenn 4I? 3 — 27 C 2 = 0;zwei Wurzeln sind imaginär, wenn 4 B 3 < 27 C l . Zu Gleichungenn KU Grades übergehend, bemerkt Lagrange, daß Newton und an-dere Forscher Bedingungen für die Existenz lauter reeller Wurzelnaufgestellt haben, die nicht hinreichend seien. Der Grund dafür liegedarin, daß diese Bedingungen nicht durch die direkte Betrachtung derreellen und imaginären Wurzeln abgeleitet wurden, sondern bloßaus gewissen Bedingungen, welche befriedigt sein müssen, wenn alleWurzeln reell sind. Wenn die Wurzeln reell sind, muß z. B. dieSumme der Quadrate aller Wurzeln, oder der Quadrate ihrer Diffe-renzen, positiv sein; man darf aber nicht schließen, daß eine positiveSumme das Vorhandensein lauter reeller Wurzeln nachweist. La-grange hebt nun hervor, daß man die Frage, ob es imaginäreWurzeln gibt oder nicht, sicherlich dadurch beantworten kann, daßman ermittelt, ob die linke Seite der Gleichung durch einen oder

mehrere Faktoren x s — ax + b, wo l > “ , teilbar ist oder nicht. In

demjenigen Divisionsrest, welcher keine höheren Potenzen von x alsdie erste enthält, setze man den Koeffizienten von x, sowie auch den

‘) Nouveaux memoires de l’aead. rov. des Sciences, annee 1777, Berlin 1779,p. 111 —139; Lagrange, Oeuvres, T. IV, p. 343—374.