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Abschnitt XX.

von x freien Teil gleich Null. Man erhält auf diese Weise zweiGleichungen, und eine dritte durch die Annahme —- b = it, aus

welchen inan die unbestimmten Größen n und b eliminieren soll.Die Größe u stellt sich hier als das Quadrat der Halbdifferenz irgendeines Wurzelpaares der vorgelegten Gleichung heraus. Ist letztere

/>f ten Grades, muß erstere - Wl — 1 Grades sein. Wenn nun in der

Endgleichung u negative Werte hat, sind in der vorgelegten Glei-chung imaginäre Wurzeln vorhanden, sonst nicht. Ob n negativeWerte habe oder nicht, lasse sich durch Descartes’ Zeichenregelentscheiden. Gibt es in der Reihe der Koeffizienten lauter Zeichen-wechsel, so hat die vorgelegte Gleichung keine imaginären Wurzeln;sind Zeichenfolgen vorhanden, dann sind imaginäre Wurzeln gewißvorhanden. Lagrange erklärt, daß die Anzahl von imaginärenW urzelpaaren nicht größer als die Anzahl Zeichenfolgen sei, weshalbman wisse, daß sich imaginäre Wurzelpaare vorfinden, nicht aberderen Anzahl. Um diese Anzahl näher zu untersuchen, berechne maneine zweite transformierte Gleichung, deren Wurzeln die Quadrateder Halbdifferenzen zwischen der Summe zweier Wurzeln und zweieranderer Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind. Hat diese neueGleichung keine negative Wurzel, dann hat die vorgelegte Gleichungnur zwei imaginäre W urzeln. Daß eine negative Wurzel wenigstensvier imaginäre WTirzeln der vorgelegten Gleichung andeuten würde,

ersieht man aus dem Ausdrucke ^ a ' C ^ ^ für die W : urzeln

der transformierten Gleichung. Sind a und b, c und il zwei konjugierteimaginäre WTirzelpaare, so muß obiger Ausdruck einen negativen Wertannehmen. Um herauszufinden, ob nicht mehr als vier imaginäreWTirzeln existieren, bilde man eine dritte Gleichung, deren Wurzelndie Quadrate der Differenzen zwischen der Summe von drei WTirzelnund der Summe dreier anderer Wurzeln sind. Hat diese dritte Glei-chung eine negative Wurzel, dann besitzt die vorgelegte Gleichungwenigstens sechs imaginäre Wurzeln. Wenn notwendig, könne maunoch weitere Transformationen unternehmen. Lagrange bemerkt,daß ihm kein allgemeines Kriterium zur Bestimmung der Anzahlnegativer W urzeln einer Gleichung bekannt sei. Diese Methode fürdie Bestimmung der Anzahl imaginärer Wurzeln führt immer zumZiele. Sie ist der Glanzpunkt der Resultate, welche man im IS. Jahr-hundert über diesen Gegenstand erreicht hat.

Endlich leitet Lagrange noch die Beziehungen zwischen denKoeffizienten einer Quartic, welche die Natur ihrer Wurzeln bestim-men, ab, und bemerkt, daß schon früher WTiring in seinen Medi-