Algebra.
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tationes algebraicae diese Resultate mitgeteilt habe, ohne aberden Nachweis dafür zu veröffentlichen.
Das 177!) zu Paris erschienene Werk Theorie generale desequations algebriques von Bezout zeichnet sich aus durch das,was es enthält, sowie durch das, was es wegläßt. Von der algebraischenAuflösung von Gleichungen f(x) = 0 verschiedener Grade, oder derAuflösung durch Annäherung, oder der Transformation von f{X) — I)in eine ueue Gleichung, deren Wurzeln oder Koeffizienten bestimmteBeziehungen zu denen der vorgelegten Gleichung haben, davon wirdnichts gesagt. Das ganze Werk ist dem Eliminationsproblem ge-widmet. Die Elimination ohne Einführung fremder Faktoren hattenEuler und Bezout bisher nur für zwei Gleichungen höheren Gradesmit zwei Unbekannten erzielt. Um für den allgemeinen Fall fremdeLösungen zu vermeiden, erkannte Bezout schon früher 1 ). ,,daß nichteine allmähliche, sondern nur eine gleichzeitige Elimination von (m — 1)der m Variablen zum richtigen Grade der Endgleichung oder derEliminante führen könne“. Diese Sache wird nun weiter entwickelt.Nach einer Einleitung über Differenzenrechnung folgt die allgemeineTheorie von Gleichungen irgendwelchen Grades und mit mehrerenUnbekannten. Ein vollständiges Polynom des Grades '/' mit n Un-bekannten wird durch (m . . . n) r bezeichnet; dessen Gliederzahl, durchX{u...n) T symbolisiert, ergibt sich gleich \Tn j n\T. Bezoutfeitet einen Ausdruck ab für die Berechung der Anzahl derjenigenGlieder in diesem Polynom, welche durch keine der Größen uP, \f, z*teilbar sind, und wird durch denselben zum Lehrsatz geführt: DerGrad der Endgleichuug, welche aus einer Anzahl n von vollständigenGleichungen irgendwelcher Grade mit n Unbekannten hervorgeht,ist dem Produkte der Grade der vorgelegten Gleichungen gleich.Nur für den Spezialfall von zwei Gleichungen war dieser Satz früherbekannt. Im Falle unvollständiger Polynome mag der Grad des End-resultats niedriger sein. Bezout unterwirft dieselben einer ein-gehenden Untersuchung. Im zweiten Teile des Werkes wird die Eli-mination selbst durchgeführt. Ohne Nachweis gibt er zur Berech-nung der Unbekannten von linearen Gleichungen eine scheinbar will-kürliche Regel, welche gleichgültig auf literale und numerische, all-gemeine und spezielle Gleichungen anwendbar ist. Wir erläutern siean einem Beispiele aus § 200. Sind a'x + b'y + dz + d‘ = 0 (i = 0, 1, 2),nehme man stillschweigend t als Unbekannte der absoluten Gliederan. Man hat dann <0x + bU/ + dz -f d't — 0. Im Produkte xi/ztsetze man nacheinander bezüglich «, b, c, d an die Stelle von x, )/, s, t.
') Cours de math. ä l’usage des Gardes du Pavillon, 1764 69, p. 909. Vgl.Kncyklopiidie der math. Wiss., Bd. I, S. 261.